Área entre gráficos.

Calcular a área da região R limitada pelas curvas y = x + 2 e y = x². 

R: 9/2

Oii. Eu estou pelo celular daí não vou conseguir resolver a conta. Ela é feita da seguinte forma.

Sejam a e b (raízes da equação) os pontos de interseção entre f(x)=x+2 e g(x)=x^2. A área é dada pela integral de f(x)-g(x) com os limites de integração indo de a até b.

Se você tiver dificuldades, assim que eu entrar pelo PC eu posto uma resolução.

y = x + 2 ---> y = x² 

x² = x + 2 ---> x² - x - 2 = 0 ---> x' = -1 ---> x" = 2

S = ∫(x + 2).dx - ∫x².dx

Oi, Giovana Martins. Eu havia conseguido resolver a questão só que não expliquei da forma correta minha dúvida.



Eu entendo que seja assim que resolva, mas estou fazendo questões assim de forma mecânica e eu não gosto disso. Não sei explicar o motivo de ser assim a resolução.

Entendi.

A ideia de que a integral corresponde a área abaixo de uma curva é algo natural para você?

Aqui a ideia é a mesma se pensarmos por esse lado. Esboce as áreas abaixo de cada uma das curvas em gráficos separados de a até b. A subtração de f(x) é g(x) é para evitar que você some a mesma área duas vezes. A área abaixo da curva f(x)=x+2 engloba a área de g(x)=x² de a até b. Ao subtrair uma da outra você obtém apenas a área entre as curvas.

Acho que isso ficaria mais claro de se entender se fizéssemos a conta como o Élcio fez na última linha da resolução dele. Bom, essa é uma forma simplista de entender o que está acontecendo.

Uma outra forma seria pensar em algo semelhante ao que ocorre na aproximação de áreas de Riemann. A diferença aqui, de forma simplista (sem rigor), é que os retângulos que você está trabalhando tem base infinitesimal dx e altura que é justamente a diferença entre f(x) e g(x), curvas superior e inferior, respectivamente.

Ficou um pouquinho mais claro?

Se garantem!