Produtório.
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Produtório.
por Eduardo Rabelo Ter 10 Nov 2020, 12:51
Para todo natural n>2, prove que 
.
Vi uma resolução não muito completa, dizendo que era para usar desigualdade das médias observando que a soma é igual
. Mas não sei muito o que fazer.
Vi uma resolução não muito completa, dizendo que era para usar desigualdade das médias observando que a soma é igual
Eduardo Rabelo
10.11.2020 13:51:04
Eduardo Rabelo- Fera
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Re: Produtório.
por fantecele Sex 13 Nov 2020, 09:52
Primeiramente você tem que perceber que:
Então você meio que, inicialmente, pode desconsiderar elas daquele produto. Daí você aplica a desigualdade das médias:
![gif.latex?\frac{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots&space;+\binom{n}{n-1}}{n-1}\geq&space;\sqrt[n-1]{\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+%5Ccdots&space;+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D%7D%7Bn-1%7D%5Cgeq&space;%5Csqrt%5Bn-1%5D%7B%5Cprod_%7Bk=1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%7D "\frac{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n-1}}{n-1}\geq \sqrt[n-1]{\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}}")
A parte da soma vem agora, porque você vai ter o seguinte:
%5En=2%5En%5C%5C%5C%5C%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+%5Ccdots&space;+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D=2%5En%5C%5C%5C%5C%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+%5Ccdots&space;+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D=2%5En-2 "\\(1+1)^n=2^n\\\\\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n\\\\\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n-1}=2^n-2")
Com isso voltamos pra desigualdade:
![gif.latex?\\\frac{2^n-2}{n-1}\geq&space;\sqrt[n-1]{\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}}\\\\\left&space;(&space;\frac{2^n-2}{n-1}&space;\right&space;)^{n-1}\geq&space;\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}\\\\\left&space;(&space;\frac{2^n-2}{n-1}&space;\right&space;)^{n-1}\geq&space;\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C%5C%5Cfrac%7B2%5En-2%7D%7Bn-1%7D%5Cgeq&space;%5Csqrt%5Bn-1%5D%7B%5Cprod_%7Bk=1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5Cleft&space;(&space;%5Cfrac%7B2%5En-2%7D%7Bn-1%7D&space;%5Cright&space;)%5E%7Bn-1%7D%5Cgeq&space;%5Cprod_%7Bk=1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%5C%5C%5C%5Cleft&space;(&space;%5Cfrac%7B2%5En-2%7D%7Bn-1%7D&space;%5Cright&space;)%5E%7Bn-1%7D%5Cgeq&space;%5Cprod_%7Bk=0%7D%5E%7Bn%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D "\\\frac{2^n-2}{n-1}\geq \sqrt[n-1]{\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}}\\\\\left ( \frac{2^n-2}{n-1} \right )^{n-1}\geq \prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}\\\\\left ( \frac{2^n-2}{n-1} \right )^{n-1}\geq \prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k}")
Aqui no final eu usei novamente que o binomial tomado em 0 e em n vai ser igual a 1.
Então você meio que, inicialmente, pode desconsiderar elas daquele produto. Daí você aplica a desigualdade das médias:
A parte da soma vem agora, porque você vai ter o seguinte:
Com isso voltamos pra desigualdade:
Aqui no final eu usei novamente que o binomial tomado em 0 e em n vai ser igual a 1.
fantecele- Fera
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Re: Produtório.
por Eduardo Rabelo Sex 13 Nov 2020, 12:02
Valeu Fantecele. Essa questão é muito bonita!
Eduardo Rabelo- Fera
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