UERJ - Polinômios

(Uerj) Considere o polinômio P(n) = (n+1) . (n^2 +3n + 2), n ∈ IN 
Calcule: 
a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de bases quadradas e volumes numericamente iguais a P(11), cujas medidas das arestas são expressas por números naturais. 

b) o valor da expressão: (7^9+4.7^6+5.7^3+2)/344^2


gabarito:
a) 6
b) 345

Não consegui desenvolver os cálculos, alguém poderia me ajudar nessa questão?

P(n) = (n + 1).(n² + 3.n + 2) ---> P(n) = (n + 1).[(n + 1).(n + 2)] --->

P(n) = (n + 1)².(n + 2) --> P(11) = (11 + 1)².(11 + 2) --> P(11) = 12².13

P(11) = 2⁴.3².13

Bases possíveis: 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 6x6, 12x12 ---> São 6 base quadradas

Olá Douglas!

a) P(11) = (11+1) . (11² +3.11 + 2) = 1872 = 2⁴ . 3² . 13

Uma vez definida a base quadrada, a 3ª aresta já estará definida.  Sendo assim, a quantidade de paralelepípedos é simplesmente o número de possibilidades de formar as arestas da base quadrada.
 O método para contar é perceber que temos que pegar de 2 em 2 cada fator, uma vez que as arestas da base são iguais. Se uma das arestas tiver o fator 3, por exemplo, a outra terá que ter também, o que significa que pegamos um par de fatores 3. Pensando assim, teremos as seguintes possibilidades:

3 possibilidades para o  fator 2 (nenhum, um par ou 2 pares)

2 possibilidades para o fator 3 (nenhum, um par)

1 possibilidade para o fator 13 (nenhum)

De modo que a resposta será o produto 3.2.1 = 6

b) fazendo n = 7³ = 343, teremos:

(n³+4n²+5n+2)/344² = (n+1)(n²+3n+2)/344² = (n+1)²(n+2)/344² 

substituindo o valor de n: 

= 344².345/344² = 345

Muito obrigado !!!

Estava com dificuldade em fazer fatoração do polinômio...