Equação logarítmica

por **abelardo** Seg 12 Set 2011, 03:21

Resolva a equação $\log_{2}x +\log_{3}x+\log_{4}x=1$ .

Resposta do manual do professor do livro de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami : $\dpi{150} 2^{\ log_{ 108} \ 9}$ .

Minha resolução:

$\log_{3}x=b \to x=3^b$

Substituindo na equação:

$\log_{2}x +\log_{3}x+\log_{4}x=1$

$\log_{2}3^b +b+\log_{4}3^b=1$

$b\log_{2}3 +b+b\log_{2^2}3=1$

$b\log_{2}3 +b+\frac{b}{2}\log_{2}3=1$

$b\left ( \log_{2}3+1+\frac{1}{2}\log_{2}3 \right )=1$

$b\left ( \log_{2}3+\log_{2}2+\log_{2}\sqrt{3} \right )=1$

$b\cdot\log_{2}(3\cdot2\cdot\sqrt3)=1$

$b=\frac{1}{\log_{2}6\sqrt3}=\frac{\log_{2}2}{\log_{2}6\sqrt3}=\log_{6\sqrt3}2$

Se $x=3^b$ então $\dpi{150} {\color{Red} x=3^{\log_{6\sqrt3}2}}$ .

É válida essa solução?

por **LucasIME** Seg 12 Set 2011, 06:42

Bem, resolvi assim:

2log(x)/2log2 + Log(x)/log 3 + Log(x)/2 Log2 = 1

3Log(x)/2Log(2) + Log(x)/Log(3) = 1

3Log(3)Log(x) + 2Log(2)Log(x) = 2Log(2)log(3)

Log(x) [ 3Log(3) + 2Log(2)] = 2Log(2)Log(3)

Log(x) = 2*Log(2)*Log(3)/3Log(3) + 2Log(2)

Log(x) = 2Log(2)Log(3)/Log(27)+Log(4)

Log(x) = 2Log(2)*Log(3)/Log(108)

Log(x) = Log(2)*[Log(9)/Log(108)]

x = 2 ^ (Log(9)/Log(108) = 2^(Log108 (9))