Confecção de lata
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Confecção de lata
por Baruca Sáb 03 Out 2020, 15:03
Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro (1.000 cm^3) de líquido. Determine a altura e o raio que minimizam a quantidade de material usado na confeccção da lata.
Digite abaixo apenas o valor encontrado para o raio em cm.
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Última edição por Baruca em Seg 05 Out 2020, 10:58, editado 1 vez(es)
Baruca- Iniciante
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Re: Confecção de lata
por Elcioschin Sáb 03 Out 2020, 17:11
V = 1 L = 1 000 cm³
Seja sejam r , h o raio e a altura da lata (em cm)
V = pi.r².h ---> 1 000 = pi.r².h ---> h = 1 000/pi.r² ---> I
Área total da lata = área lateral + 2.área da base
S = 2.pi.r.h + 2.pi.r² ---> II
I em II ---> S = 2.pi.r.(1 000/pi.r²) + 2.pi.r² ---> S = 2 000/r + 2.pi.r²
Para calcular o valor de r que minimiza a área S devemos derivar a função S
S' = - 2 000/r² + 4.pi.r
O valor mínimo de S ocorre quando S' = 0:
- 2 000/r² + 4.pi.r = 0 ---> r³ = 500/pi ---> r = ∛(500/pi) ---> r ~= 5,4 cm
I ---> h = 1 000/∛[(500/pi)²] ---> h = 100/∛(250/pi²) ---> h ~= 34 cm
Seja sejam r , h o raio e a altura da lata (em cm)
V = pi.r².h ---> 1 000 = pi.r².h ---> h = 1 000/pi.r² ---> I
Área total da lata = área lateral + 2.área da base
S = 2.pi.r.h + 2.pi.r² ---> II
I em II ---> S = 2.pi.r.(1 000/pi.r²) + 2.pi.r² ---> S = 2 000/r + 2.pi.r²
Para calcular o valor de r que minimiza a área S devemos derivar a função S
S' = - 2 000/r² + 4.pi.r
O valor mínimo de S ocorre quando S' = 0:
- 2 000/r² + 4.pi.r = 0 ---> r³ = 500/pi ---> r = ∛(500/pi) ---> r ~= 5,4 cm
I ---> h = 1 000/∛[(500/pi)²] ---> h = 100/∛(250/pi²) ---> h ~= 34 cm
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