Geometria Analítica
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Geometria Analítica
por Bruna Ce Seg 14 Set 2020, 13:53
Por P(2, 1) traçam-se as retas tangentes à circunferência de equação x² + y²- 2y - 1 = 0. Calcule a distância entre P e cada ponto de tangência.
- Gabarito:
- Raiz quadrada de 2
Última edição por Bruna Ce em Seg 14 Set 2020, 14:20, editado 1 vez(es)
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Re: Geometria Analítica
por Ashitaka Seg 14 Set 2020, 14:48
Bruna Ce escreveu:Por P(2, 1) traçam-se as retas tangentes à circunferência de equação x² + y²- 2y - 1 = 0. Calcule a distância entre P e cada ponto de tangência.
- Gabarito:
x² + (y-1)² = 2 ---> centro C(0, 1)
Seja Q(a, b) um ponto de tangência.
O vetor CQ = (a, b-1) é perpendicular ao vetor PQ(a-2, b-1) e seu produto interno é nulo:
a(a-2) + (b-1)² = 0 (I)
Além disso, CQ tem comprimento igual ao raio:
a² + (b-1)² = 2 (II)
Queremos o módulo de PQ.
Logo,
a(a-2) + (b-1)² = 0
a² + (b-1)² = 2
Substituindo (b-1)² de (I) em (II):
a² - a(a-2) = 2
a = 1 ----> (b-1)² = -a(a-2) = 1
|PQ|² = (a-2)² + (b-1)² = (1 - 2)² + 1 = 2
|PQ| = √2
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Re: Geometria Analítica
por RodrigoA.S Seg 14 Set 2020, 15:25
Outra solução usando derivadas:
x²+y²-2y-1=0
2x+2yy'-2y'=0
2x+y'(2y-2)=0
y'=-2x/(2y-2)
y'=-x/(y-1) ----> coeficiente angular das retas tangentes à circunferência.
Precisamos das retas que passam por P(2,1) e posuem coeficiente angular y':
y-yo=y'(x-xo)
y-1=-x/(y-1)(x-2)
(y-1)²=-x²+2x ----> substituindo na equação da circunferência, podemos achar os pontos de tangência
Escrevendo a equação da circunferência na forma reduzida temos :
x²+(y-1)²=2
(y-1)²=2-x²
-x²+2x=2-x²
2x=2
x=1
(y-1)²=2-1²=1
y=0 e y=2
Portanto, os dois pontos de tangência são A(1,0) e B(1,2)
dP,A=dP,B=V[(2-1)²+(1-0)²]=V2
x²+y²-2y-1=0
2x+2yy'-2y'=0
2x+y'(2y-2)=0
y'=-2x/(2y-2)
y'=-x/(y-1) ----> coeficiente angular das retas tangentes à circunferência.
Precisamos das retas que passam por P(2,1) e posuem coeficiente angular y':
y-yo=y'(x-xo)
y-1=-x/(y-1)(x-2)
(y-1)²=-x²+2x ----> substituindo na equação da circunferência, podemos achar os pontos de tangência
Escrevendo a equação da circunferência na forma reduzida temos :
x²+(y-1)²=2
(y-1)²=2-x²
-x²+2x=2-x²
2x=2
x=1
(y-1)²=2-1²=1
y=0 e y=2
Portanto, os dois pontos de tangência são A(1,0) e B(1,2)
dP,A=dP,B=V[(2-1)²+(1-0)²]=V2
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