Longlist IMO 1977
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Longlist IMO 1977
por Russell99 Sáb 29 Ago 2020, 12:55
Dados 37 pontos no espaço com coordenadas inteiras, prove que pelo menos um dos triângulos formado por três destes pontos possui o baricentro com coordenadas inteiras.
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Re: Longlist IMO 1977
por JaquesFranco Sex 23 Fev 2024, 20:52
Considere os pontos [latex]P_i(x_i, y_i, z_i)[/latex], onde [latex] i[/latex] é natural e [latex] 1 \leqslant i \leqslant 37[/latex].
Note que pelo PCP, existem pelo menos [latex]\lceil \dfrac{37}{3} \rceil = 13[/latex] pontos com [latex]x_i[/latex] de resto na divisão por 3.
Portanto, existem 3 pontos tais que[latex]\dfrac{x_a + x_b + x_c} {3}[/latex] é inteiro.
Analogamente, pelo PCP, existem pelo menos [latex]\lceil \dfrac{13}{3} \rceil = 5[/latex] pontos com [latex]y_i[/latex] de mesmo resto na divisão por 3. Portanto, existem 3 pontos tais que [latex]\dfrac{y_a + y_b + y_c} {3}[/latex] é inteiro.
Analogamente, pelo PCP, existem pelo menos [latex]\lceil \dfrac{5}{3} \rceil = 2[/latex] pontos com [latex]z_i[/latex] de mesmo resto na divisão por 3.
Se existem 3 pontos com o mesmo resto, então [latex]\dfrac{y_a + y_b + y_c} {3}[/latex] é inteiro. Caso contrário, os restos possíveis para os pontos [latex]z_i[/latex] são: (0,0,1,1,2); (0,0,2,2,1); (1,1,2,2,0). E nos três casos existem 3 pontos tais que[latex]\dfrac{z_a + z_b + z_c} {3}[/latex] é inteiro.
Note que pelo PCP, existem pelo menos [latex]\lceil \dfrac{37}{3} \rceil = 13[/latex] pontos com [latex]x_i[/latex] de resto na divisão por 3.
Portanto, existem 3 pontos tais que[latex]\dfrac{x_a + x_b + x_c} {3}[/latex] é inteiro.
Analogamente, pelo PCP, existem pelo menos [latex]\lceil \dfrac{13}{3} \rceil = 5[/latex] pontos com [latex]y_i[/latex] de mesmo resto na divisão por 3. Portanto, existem 3 pontos tais que [latex]\dfrac{y_a + y_b + y_c} {3}[/latex] é inteiro.
Analogamente, pelo PCP, existem pelo menos [latex]\lceil \dfrac{5}{3} \rceil = 2[/latex] pontos com [latex]z_i[/latex] de mesmo resto na divisão por 3.
Se existem 3 pontos com o mesmo resto, então [latex]\dfrac{y_a + y_b + y_c} {3}[/latex] é inteiro. Caso contrário, os restos possíveis para os pontos [latex]z_i[/latex] são: (0,0,1,1,2); (0,0,2,2,1); (1,1,2,2,0). E nos três casos existem 3 pontos tais que[latex]\dfrac{z_a + z_b + z_c} {3}[/latex] é inteiro.
JaquesFranco- Jedi
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