Área de Prisma pentagonal

O volume de um prisma pentagonal de 8 cm de altura é [latex]493,2 cm^{^{3}}[/latex]. Qual é a área total desse prisma? (Considere como aproximação: [latex]tg\frac{3\pi }{10} = 1,37)[/latex]

Resposta:

Existe uma falha no enunciado: ele não disse que a base é um pentágono regular.

3.pi/10 = 54º 

Desenhe o pentágono ABCDE com lado L e centro O e trace OA = OB

AÔB = 360º/5 = 72º ---> OÂB = O^BA = 54º

Seja M o ponto médio de AB

AB = L ---> AM = BM = L/2 ---> OM = h 

tg(OÂB) = OM/AM ---> 1,37 = h/(L/2) ---> h = 0,865 L

Área de OÂB: s = AB.OM/2 ---> Calcule

Área do pentágono: S = 5.s ---> Calcule

V = S.H/2 ---> 493,2 = S.8/2 ---> Calcule L

Área lateral ---> Sl = 5.L.H ---> calcule

St = S + Sl

O Gabarito do meu livro é 363,3cm². Tentei diversas vezes fazer essa conta, e não encontrei o resultado do livro. E depois de tanto tentar, comecei a encontrar resultados diferentes. Se alguém puder terminar a conta do mestre, eu ficaria extremamente grato. Se não puder fazer a conta, por ser muito grande. Poste só o resultado final, para eu saber se meu gabarito está certo ou errado.

Grato.

Área de OÂB = 0,865l.l/2---->0,4325L²

S=5.0,4325L²----> 2,1625L²

V= 2,1625L².8/2 = 493.2-----> L² = 493,2/8.65 -----> L=7,5509827864

Al=5.L.8---->302,039311456

Área total = Al + Área da base--->425,339311456

2ª tentativa, dessa vez mudando algumas partes, não entendi porque v=S.H/2 porque o volume está dividido por 2? Não seria apenas v= S.H? Outra, porque  St = S + Sl, não seria St = 2S + Sl, isto é, área da base vezes 2?

Área da base=2,1625L²

v= 2,1625L².8=493,2---->L²=493,2/17.3--->L=5,33935113288

Área lateral = 5.8.L---->213,574045315

Área total = Al +2.Ab------>213,574045315 +123.3  ---->336,3=At

Sendo o gabarito 363,3cm², eu acho que ocorreu um erro de digitação, e deveria ser 336,3cm².

Se algum usuário notar algum erro na minha resolução, favor informar. E por obséquio, poste a solução completa de como chegar no gabarito 363,3cm², porque eu gostaria muito de saber.

O chato são essas continhas com decimais, embora o enunciado tenha colocado números que se simplificam exatamente inteiros. Se efetuamos todas as continhas parciais a medida em que aparecem, toma-nos muito tempo, fica cansativo e, pior, carregamos aproximações sucessivas para o resultado final, distorcendo-o. Por isto resolvi mantendo os números dados e procurando realizar o mínimo de contas aritméticas, apenas as indicando, e aguardei a oportunidade para simplificação conveniente

Nada sei do gabarito mas bato o pé na minha resposta.

Grande Medeiros, você conseguiu chegar no resultado do gabarito do meu livro. O único problema foi que você trocou os números no final da conta, área da base = 61,65, mas na conta final calculando a área total você colocou 61,25+5.6.8. O que resultou em 362,5cm²,se fosse 61,65+5.8.6, daria 363,3cm². Muito obrigado pela sua resolução, consegui entender a conta e aprendi mais. Eu só consegui notar isso na sua conta porque estava copiando sua resposta no meu caderno, aí notei que trocou os números.

Puxa, DGL, nem notei a troca. Na verdade, para a conta final não olhei o valor da área da base (que estava ali pertinho) e usei o que estava na minha cabeça, por isso a troca. Apenas percebi que não deu os 363,3 que você havia apregoado.

Obrigado pela correção.