[OBMEP] Questão da terceira fase

Eu não sei qual é o ano, vi na internet, só que não informava.
O enunciado é o seguinte.

Encontre todos os valores para A e B, tal que 3^A=2.B²+1

Eu fiz por chutes e consegui descobrir duas soluções, sem fórmulas só chutando mesmo.

1)
A=2
B=2

2)
A=4
B=11

No segundo eu fiz assim: 3^4=243, então 2.B²=242, logo B²=121, então B=11.


Até mais!

A e B pertencem à N?

Pois caso pertençam à R, são infinitas soluções, tais como A=3 B=V13

Sim. Pertence aos inteiros positivos (naturais).

Até lembra equações diofantinas, mas com esses expoentes a coisa muda. Pensei também numa função exponencial 3^A e numa função do segundo grau (2B²+1), mas não sei como determinar as soluções, mas pelos meus borrões, acho que são poucas.

Olá ,
Primeiramente vamos calcular a forma garotada de x^n-y^n, sendo n pertencente aos números inteiros positivos.

Seja a soma :
S=1+a+a^2+...+a^(n-1) (I)

Multiplicando inicialmente (I) por a , temos :
aS=a+a^2+a^3+...+a^(n)   (II)

Fazendo (I)-(II), temos :

S(1-a)=1-a^(n)

Logo:

S=[1-a^(n)]/(1-a)

Substituindo S pela igualdade em (I) , tem :

1+a+a^2+...+a^(n-1)=[1-a^(n)]/(1-a)

Sendo a diferente de 1 e igual a uma razão x/y , já que a é um número real.

(1-x/y)(1+x/y+(x/y)^2+...+(x/y)^(n-1))=[1-(x/y)^n]
(y-x)/y(1+x/y+(x/y)^2+...+(x/y)^(n-1))=[y^n-x^n]/y^n

Passa y^n para o outro lado da igualdade :

(y-x).y^(n-1).(1+x/y+(x/y)^2+...+(x/y)^(n-1))=y^n-x^n

Multiplicando y^(n-1) no segundo parentese, temos:

(y-x)(y^(n-1)+x.y^(n-2)+...x^(n-1))=y^n-x^n

Com tal fatoração vamos para o exercício.
Então temos :

3^A=2.B^2+1
3^A-1=2.B^2

(3^A-1)/2=B^2

Usando a fatoração demonstrada para fatorar (3^A-1), tem-se:

(3-1)(3^(A-1)+3^(A-2)+3^(A-3)+...+3+1)
(2)[3(3^(A-2)+3^(A-3)+...+1)+1]

Repare que como A igual a um número inteiro positivo então temos que :

(3^(A-2)+3^(A-3)+...+1)=K , tal que esse K seja um número inteiro positivo.
Substituindo , temos :

(2)[3K+1]/2=B^2
3K+1=B^2

Passando o (+1) para o outro lado da igualdade , temos:

3K=B^2-1
3K=(B-1)(B+1)

Como 3K pertence aos inteiros positivos , (B-1) também pertence ,pois B é inteiro positivo , logo se aumentado por uma unidade ou diminuído por também uma unidade continuara sendo um inteiro positivo.

Então temos as seguintes soluções ( com (B-1)<(B+1))

(B-1)=1 e (B+1)=3K
B=2 e K=1 , para ter K=1 precisamos então ter um A=2.

(B-1)=3 e(B+1)=K
B=4 e K=5,  repare que não existe A para que K=5.

(B-1)=k e (B+1)=3
Repare que essa solução já foi considerada.

Portanto a única solução que satisfaz é B=2 e K=1--->A=2

Obs:repare que a sua segunda consideração não é validade 3^4 é 81 e não 243.