Velocidade da imagem de um espelho esférico

Um bloco de massa [latex]m[/latex] e um sistema composto de um espelho côncavo de raio  [latex]R[/latex] fixado em um suporte horizontal a uma distância [latex]d[/latex] um do outro. O bloco é posto a se mover com velocidade [latex]v_{0}[/latex] em direção ao sistema (suporte+espelho) colidindo elasticamente. A massa do espelho mais a massa do suporte valem [latex]m[/latex].

Encontre a velocidade da imagem nos intervalos [latex]t < \frac{d}{v_{0}}[/latex] e [latex]t > \frac{d}{v_{0}}[/latex].

I) Antes da colisão

Num espelho côncavo parado temos que a velocidade horizontal é:

[latex]V_{P'}=-\left (\frac{P'}{P} \right )^2\cdot V_{P}\Rightarrow V_{P'}=-\left (\frac{f}{P-f} \right )^2\cdot V_{P}\Rightarrow V_{P'}=-\left (\frac{R}{2P-R} \right )^2\cdot V_{P}[/latex]

Como o bloco está se aproximando do espelho, temos:

[latex]P=d-V_{0}\cdot t[/latex]

[latex]V_{P}=-V_{0}[/latex]

Portanto,

[latex]V_{P'}=\left (\frac{R}{2(d-V_{0}\cdot t)-R} \right )^2\cdot V_{0}[/latex]


II) Após a colisão

Após a colisão , como as massas são iguais, o espelho começa a se afastar com -v0.

Entrando no ref. do espelho temos que o bloco está se afastando do espelho com v0.

Portanto, no ref. do espelho temos:

[latex]V_{P'}=-\left (\frac{R}{2(d+V_{0}\cdot t)-R} \right )^2\cdot V_{0}[/latex]

voltando ao ref. a Terra temos:

[latex]V_{P'}=-\left (\frac{R}{2(d+V_{0}\cdot t)-R} \right )^2\cdot V_{0} - V_{0}[/latex]

[latex]V_{P'}=-\left [\left (\frac{R}{2(d+V_{0}\cdot t)-R} \right )^2 +1 \right ] V_{0}[/latex]