Calcular o limite

Bom dia, estou preso tentando resolver este limite.Buscando soluções na internet, encontrei apenas com a utilização da derivada, contudo não houve menção deste conteudo no livro ainda, então imagino que há como solucionar sem utiliza-lo.



Agradeço pela ajuda.

1 - sen(x/2) .... 1 - sen(x/2)
-------------- = ---------------- 
.... pi - x ........ 2.(pi/2 - x/2)

Fazendo y = pi/2 - x/2 ---> x/2 = pi/2 - y ---> Quando x tende a pi, y tende a zero

1 - sen(pi/2 - y) .... 1 - cosy
------------------- = ---------- 
......... 2.y ................2.y ... 

Falta completar

pi - x = a --> x = pi - a

sin(x/2) = sin((pi - a)/2)) = sin(pi/2 - a/2) = cos(-a/2) --> identidade trigonométrica.

cos(-a/2) = cos(a/2), já que o cosseno é uma função par.

Note que quando x --> pi, a --> 0

O limite se torna o seguinte:

lim(a-->0) = (1 - cos(a/2))/a = (1/2)*(1 - cos(a/2))/(a/2)


Note que o limite x-->0 (1 - cos(x))/x é um limite fundamental, e vale 0. Portanto:

lim(a-->0) = (1/2)*(1 - cos(a/2))/(a/2) = 1/2*0 = 0

Verificando por L'Hopital:

d(1 - sin(x/2)) = -cos(x/2)/2
d(pi - x) = -1

Lim = -cos(pi/2)/-2 = 0

Dei uma tremenda mancada na última linha da minha solução: no local onde eu tinha colocado seny o correto é cosy. Já editei em vermelho (não completei, já que o o colega João Gabriel mostrou a solução)

Obrigado aos dois pela resposta, consegui entender aonde eu estava errando.
Uma boa tarde a ambos.