Calcular o limite

por Magalhãesss Sex 26 Jun 2020, 11:14

Bom dia, estou preso tentando resolver este limite.Buscando soluções na internet, encontrei apenas com a utilização da derivada, contudo não houve menção deste conteudo no livro ainda, então imagino que há como solucionar sem utiliza-lo.

$Calcular o limite 2%29%7D%7B%5Cpi-x%7D$

Agradeço pela ajuda.

por **Elcioschin** Sex 26 Jun 2020, 11:34

1 - sen(x/2) .... 1 - sen(x/2)
-------------- = ----------------
.... pi - x ........ 2.(pi/2 - x/2)

Fazendo y = pi/2 - x/2 ---> x/2 = pi/2 - y ---> Quando x tende a pi, y tende a zero

1 - sen(pi/2 - y) .... 1 - cosy
------------------- = ----------
......... 2.y ................2.y ...

Falta completar

por **JoaoGabriel** Sex 26 Jun 2020, 11:36

pi - x = a --> x = pi - a

sin(x/2) = sin((pi - a)/2)) = sin(pi/2 - a/2) = cos(-a/2) --> identidade trigonométrica.

cos(-a/2) = cos(a/2), já que o cosseno é uma função par.

Note que quando x --> pi, a --> 0

O limite se torna o seguinte:

lim(a-->0) = (1 - cos(a/2))/a = (1/2)*(1 - cos(a/2))/(a/2)

Note que o limite x-->0 (1 - cos(x))/x é um limite fundamental, e vale 0. Portanto:

lim(a-->0) = (1/2)*(1 - cos(a/2))/(a/2) = 1/2*0 = 0

Verificando por L'Hopital:

d(1 - sin(x/2)) = -cos(x/2)/2
d(pi - x) = -1

Lim = -cos(pi/2)/-2 = 0

por **Elcioschin** Sex 26 Jun 2020, 12:16

Dei uma tremenda mancada na última linha da minha solução: no local onde eu tinha colocado seny o correto é cosy. Já editei em vermelho (não completei, já que o o colega João Gabriel mostrou a solução)