Exercício sobre área entre duas funções

por Tchesco Alberto Qua 22 Abr 2020, 16:55

"20. A é o conjunto do plano limitado pelos gráficos de y = x^3 − x, y = sen (pi*x), com −1 ≤ x ≤ 1." . Em questões envolvendo cálculo de área utilizando integrais definida eu normalmente avalio onde as funções são positivas, ex: f(x)-g(x) >= 0. Daí, consigo montar os intervalos bem definidos. Entretanto, nessa questão em específico acho que não é possível avaliar dessa forma, alguém sabe de alguma outra maneira?

por **mauk03** Sex 24 Abr 2020, 21:33

Nessa questão em particular, vc poderia desenhar o gráfico de ambas essas funções usando conhecimentos de polinômios e trigonometria, além de técnicas de derivação para verificar intervalos de crescimento/decrescimento, pontos críticos e de inflexão, se julgar necessário.

Para y = x^3 − x, basta verificar que essa curva intersepta o eixo x nos pontos (0, 0), (1, 0) e (-1, 0) e o eixo y no ponto (0, 0), que é negativa para x<-1 e 01, e que tem pontos críticos em x = 1/√3 e x = -1/√3. Com esses dados e sabendo o formato de uma curva do tipo y = x^3 + ax^2 + bx + c dá pra montar o gráfico.

Para y = sen(pi*x), basta fazer o gráfico de uma senoide comum, (sen(x)) porém com período T = 2*pi/pi = 2.

Disso vc pode visualizar que essas curvas se interceptam nos pontos (0, 0), (1, 0) e (-1, 0), sendo que x^3−x>sen(pi*x) no intervalo -1

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