integral definida
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integral definida
por Beatriz.macondo Sex 17 Abr 2020, 01:15
Para 
tem-se:
Essa foi minha resolução:
onde errei? Como poderia resolver?
Gabarito: A
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Essa foi minha resolução:
onde errei? Como poderia resolver?
Gabarito: A
Beatriz.macondo- Recebeu o sabre de luz
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Re: integral definida
por mauk03 Dom 19 Abr 2020, 20:23
Vc errou ao não substituir os limitantes da integral quando fez a substituição trigonométrica e não integrou corretamente sec³(θ). No link abaixo tem uma resolução passo-a-passo dessa integral:
[url=https://pt.symbolab.com/solver/integral-calculator/\int_%7B1%7D^%7B2%7D \sqrt%7B1%2B4x^%7B2%7D%7Ddx]https://pt.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20%5Csqrt%7B1%2B4x%5E%7B2%7D%7Ddx[/url]
(Se o link não estiver abrindo, acessa o site symbolab/solver/integral-calculator e digita a integral)
Mas como a questão pede apenas para comparar o valor da integral com valores numéricos, então não precisaria resolve-la (que é bem trabalhoso por sinal). Usando a informação da nota (que informa a definição de comprimento do gráfico de uma função), tem-se que para uma dada função f:
^{2}}\mathrm{d}&space;x=\int_{1}^{2}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\mathrm{d}&space;x "C=\int_{1}^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\mathrm{d} x=\int_{1}^{2}\sqrt{1+(2x)^{2}}\mathrm{d} x=\int_{1}^{2}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\mathrm{d} x")
Segue que:
=2x\Rightarrow&space;f(x)=\int&space;2x\mathrm{d}&space;x=x^{2}+K "f'(x)=2x\Rightarrow f(x)=\int 2x\mathrm{d} x=x^{2}+K")
Logo, f(x) é uma parábola que a depender do valor da constante K desloca-se para cima ou para baixo, porém mantém sua simetria em relação ao eixo y e, portanto, o comprimento do gráfico de f entre x = 1 e x = 2 não depende do valor de K. Abaixo tem o gráfico de f e as retas x = 1 e x = 2 que limitam o pedaço da curva a ser calculado pela integral C. Note que esse pedaço é maior que o segmento de reta entre os pontos A(1, f(1)) e B(2, f(2)) (em azul na imagem).
Sendo f(1) = 1 + K e f(2) = 4 + K, tem-se que:
=\sqrt{(2-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{10} "C>d(A,B)=\sqrt{(2-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{10}")
Letra A.
[url=https://pt.symbolab.com/solver/integral-calculator/\int_%7B1%7D^%7B2%7D \sqrt%7B1%2B4x^%7B2%7D%7Ddx]https://pt.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20%5Csqrt%7B1%2B4x%5E%7B2%7D%7Ddx[/url]
(Se o link não estiver abrindo, acessa o site symbolab/solver/integral-calculator e digita a integral)
Mas como a questão pede apenas para comparar o valor da integral com valores numéricos, então não precisaria resolve-la (que é bem trabalhoso por sinal). Usando a informação da nota (que informa a definição de comprimento do gráfico de uma função), tem-se que para uma dada função f:
Segue que:
Logo, f(x) é uma parábola que a depender do valor da constante K desloca-se para cima ou para baixo, porém mantém sua simetria em relação ao eixo y e, portanto, o comprimento do gráfico de f entre x = 1 e x = 2 não depende do valor de K. Abaixo tem o gráfico de f e as retas x = 1 e x = 2 que limitam o pedaço da curva a ser calculado pela integral C. Note que esse pedaço é maior que o segmento de reta entre os pontos A(1, f(1)) e B(2, f(2)) (em azul na imagem).
Sendo f(1) = 1 + K e f(2) = 4 + K, tem-se que:
Letra A.
mauk03- Fera
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