Logaritimo

por Everton Maia Seg 22 Ago 2011, 21:39

a) 1/2
b) 3
c) 2
d) 1
e) 1/3

Iae galera? como faz? ;x

Preciso resolver ela pra amanha... alguem ajudae? abraços

por jojo Seg 22 Ago 2011, 22:14

Qual a resposta?

por Everton Maia Seg 22 Ago 2011, 22:18

LETRA C.

por **abelardo** Seg 22 Ago 2011, 22:35

Sou novato em logaritmo, então, por favor, confira o gabarito.

Perceba que todos as logaritmações dessa soma infinita tem a mesma base. Usando a propriedade do logaritmo de um produto, temos que:

$\dpi{120} \log_{(x-1)}3+\log_{(x-1)}\sqrt[2]{3}+\log_{(x-1)}\sqrt[4]{3}+\log_{(x-1)}\sqrt[8]{3}+...=2$

$\dpi{120} \log_{(x-1)}\left (3\cdot\sqrt[2]{3}\cdot\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[8]{3}+... \right )=2$

$\dpi{120} \log_{(x-1)}\left (3\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{4}}\cdot3^{\frac{1}{8}}\cdot... \right )=2$

Perceba o padrão nos expoentes das bases três (3). Multiplicação de potência da mesma base faz como? Repete a base e soma os expoentes.

$\dpi{120} 3\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{4}}\cdot3^{\frac{1}{8}}\cdot... \right =3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...}$ (Essa soma dos expoentes converge em um número. Não conheço do assunto, mas sempre utilizo essa técnica elementar para encontrar o valor)

$\dpi{120} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=y$
$\dpi{120} 1+\frac{1}{2}\cdot\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+... \right )=y$ (O que está dentro dos parênteses é uma soma infinita igual a Y também)
$\dpi{120} 1+\frac{1}{2}\cdot\left ( y \right )=y$
$\dpi{120} 2=y$

Voltando a expressão $\dpi{120} \log_{(x-1)}\left ( 3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...} )=2$
$\dpi{120} \log_{(x-1)}\left 3^{2} =2$ Como 3²=9, então a resposta é letra c).

por jojo Seg 22 Ago 2011, 22:46

Segue: https://2img.net/r/ihimg/g/801/img20110823003828.jpg/

Qualquer dúvida na letra ou resolução, só perguntar.

Edit: Ih, o amigo já respondeu...bom, fica aí as duas resoluções para você.

por **abelardo** Seg 22 Ago 2011, 22:52

Que isso amigo, podem postar cem resolução mesmo que sejam iguais. A sua usa PG, é bem mais simples e foi bem diferente da minha. Você tratou de forma mais rigorosa a questão, já que quando aparecem essas somas infinitas que crescem a uma determinada razão eu sempre uso esse artifício elementar.
Sei que tem relação com PG, mas ainda não estudei o assunto!! :tav: