Aceleração da gravidade

por acreghini Qui 09 Abr 2020, 10:19

Para objetos celestes esféricos de raio R, a aceleração da gravidade g a uma distância x do centro do objeto é g = goR²/x², onde go é a aceleração da gravidade na superfície do objeto e x > R. Para a Lua, faça go = 1,63 m/s² e R = 3200 km. Se uma pedra é largada do repouso de uma altura de 4R acima da superfície lunar, com que rapidez a pedra vai atingir a Lua?

Tentei integrar a equação da aceleração para achar a da velocidade, mas ainda me falta um pouco de habilidade nessa operação. Se alguém puder fazer detalhadamente, eu agradeço.

Gabarito:

por **Giovana Martins** Qui 09 Abr 2020, 11:14

Por algum motivo não consegui chegar no seu gabarito. Vou pensar um pouco. Depois eu volto. Eis a minha ideia.

Referência: do centro da lua adiante (na direção radial) adotou-se sentido positivo. Na segunda linha da resolução surge um sinal negativo pois a aceleração da gravidade tem sentido oposto ao referencial adotado.

\\a=\frac{dv}{dt}\to a=\frac{dv}{dt}\frac{dx}{dx}\to a=v\frac{dv}{dx}\\\\vdv=adx\to vdv=-\frac{g_0R^2}{x^2}dx\\\\ \int_{0}^{v}vdv=-\int_{4R}^{R}\left ( \frac{g_0R^2}{x^2} \right )dx\to \boxed {v=\sqrt{\frac{3}{2}g_0R}}

por acreghini Qui 09 Abr 2020, 19:46

Entendi, muito obrigada. Quanto ao gabarito, acho que pode estar errado então, pois nele também consta essa expressão a qual você chegou, mas é utilizado 1738 x 10³ m como raio na substituição de valores, ao invés de 3200 km, que foi dado no enunciado. Estranho...