Critério de divisibilidade

por Xm280 Qua Mar 25 2020, 16:01

(Moldávia-98) Sejam A = (a₁a₂...a_(n-1)a_n)₁₀ e B = (a₁a₂...a_(n-1))₁₀ + 4a_n onde a₁, a₂, ..., a_n são os dígitos do número A. Prove que A é divisível por 13 se e somente se B é divisível por 13.

por **fantecele** Qua Mar 25 2020, 16:56

Primeiro você poderia ver que A é divisível por 13 se e somente se 4.A é divisível por 13, daí, na hora de escrever 4.A podemos fazer:

$\\4.A=4.a_1a_2...a_n\Leftrightarrow \\4.A=4.a_1a_2...a_{n-1}0+4.a_n\Leftrightarrow\\4.A=4.a_1.10^n+4.a_2.10^{n-1}+...+4.a_{n-1}.10+4.a_n\Leftrightarrow\\4.A=a_1.10^{n-1}.(39+1)+a_2.10^{n-2}.(39+1)+...+a_{n-1}.(39+1)+4.a_n$

Perceba que 39 é divisível por 13, então 4.A é divisível por 13 se e somente se B é divisível por 13, sendo B igual a:

$\\B=a_1.10^{n-1}+a_2.10^{n-2}+...+a_{n-1}+4.a_n\Leftrightarrow \\B=a_1a_2...a_{n-1}+4.a_n$

Sendo todas as passagens se e somente se, então fica provado.

Acho que é isso, qualquer coisa é só perguntar.

por Xm280 Qua Mar 25 2020, 17:30

Ss, eu entendi seu raciocínio e acredito que demonstra o que se pede. Só uma dúvida: na quarta linha de desenvolvimento da equação 4A=4a₁a₂...a_n, não deveria ser a₂10^n-2(39+1) ao invés de 4a₂10^n-2(39+1)?

O mesmo questionamento se extende para o B = ... (primeira linha)