Trigonometria: equação linear

por KaykyFado Sáb 22 Fev 2020, 17:48

(Temas e Metas: volume 2 (Matemática: trigonometria e progressões) - 1986):

Resolva a equação:

sen 2x + (√3)*cos 2x = 1, no intervalo 0 ≤ x ≤ pi

Gabarito: S={pi/4;11pi/12}

É requerido que se resolva como equação linear.

por **Ashitaka** Sáb 22 Fev 2020, 20:27

sin(2x) + √3*cos(2x) = 1
1/2 * sin(2x) + √3/2 * cos(2x) = 1/2
sin(30)*sin(2x) + cos(30)*cos(2x) = 1/2
cos(2x - 30) = 1/2

2x - 30 = +- 60 + 2kpi
x = 45 + kpi ou x = -15 + kpi
x = 45° ou x = 165°

por KaykyFado Dom 23 Fev 2020, 19:40

Compreendi o método que fizeste. Mas como seria se fosse feito por sistema, já que é o que a questão pede?

por **Giovana Martins** Dom 23 Fev 2020, 19:52

O método que você fala seria este?

Sejam sen(2x)=u e cos(2x)=w. É sabido que u²+w²=1. Daí:

\\\left\{\begin{matrix}
u+w\sqrt{3}=1\\
u^2+w^2=1
\end{matrix}\right. \to\ (u,w)=\left ( -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right )\ \vee\ (u,w)=(1,0)\\\\sen(2x)=-\frac{1}{2}\to x=\left \{ \frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12} \right \}\\\\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\to x=\left \{ \frac{\pi }{12},\frac{11\pi }{12} \right \}\\\\sen(2x)=1\to x=\left \{\frac{\pi }{4} \right \}\\\\cos(2x)=0\to x=\left \{ \frac{\pi }{4}, \frac{3\pi }{4} \right \}

Testando as soluções, apenas x=45° e x=165° satisfazem a equação.

por KaykyFado Dom 23 Fev 2020, 21:21

Exatamente deste que falo.

Eu não pensei na possibilidade de pôr sen(2x) e cos(2x) ao quadrado, pois pensava que isto se aplicaria apenas em sen(x) e cos(x), porém refleti e vi que vale também.

Obrigado!

por **Ashitaka** Ter 25 Fev 2020, 00:09

Pois é, na hora não entendi o que você quis dizer com "sistema linear", então só resolvi normalmente como faria. Isso porque o sistema formado não é linear, então você não deveria ter escrito esse requisito.