VUNESP - equação

por JohnnyC 6/1/2020, 1:56 am

determine um valor de n ∈ N*, tal que π/n seja solução da equação:

8cos^4θ - 8cos²θ + 1 = 0

R: 8

pessoal, eu fiz cos²θ = y

assim: 8y² - 8y + 1 = 0

fazendo isso, teremos cos²θ = (2 + √2)/4 ou cos²θ = (2 - √2)/4, ou seja, não chega no gabarito. alguém sabe resolver ? obrigado.

por Emersonsouza 6/1/2020, 8:00 am

∆=64-32--> ∆=32

cos²θ = (2 + √2)/4 ou cos²θ = (2 - √2)/4
cos²θ=(2±V2)/4
Cos2θ=2cos²θ -1--> cos2θ=2*((2±V2)/4) -1--> cos2θ=(2±V2)/2 -1--> cos2θ=(2±V2)/2 -2/2= ±V2/2

Logo 2θ= pi/4+kpi ou 2θ= 3*pi/4 + kpi
θ=pi/8+kpi/2 ou 3*pi/8 + kpi/2

Como a questão diz que pi/n é solução e n é natural , temos que 3*pi/8 + kpi/2 não é solução.

Portanto, o valor de n é 8.
Qualquer dúvida é só falar!

por Armando Vieira 6/1/2020, 8:08 am

Outro modo:
8 cos²θ (cos²θ - 1) = -1
8 cos²θ(-sen²θ) = -1
(-2).(2senθcosθ)² = -1
sen²(2θ) = 1/2
sen(2θ) = √2/2
2θ = π/4 + 2kπ ou 2θ = 3π/4 + 2kπ
fazendo k = 0 em 2θ = π/4 + 2kπ
2θ = π/4 => θ = π/8 => n = 8