Custo anual equivalente (CAE)

por carolzinhag3 Dom 17 Nov 2019, 18:32

O Departamento de engenharia do produto de uma fábrica está tentando calcular o CAE de uma máquina em projeto. Estima-se que o custo de projetar e construir a máquina será de $72 milhões, sua vida econômica é estimada em 7 anos um valor residual de $ 7 milhões, mas estas estimativas são sujeitas a erro. Uma vida econômica de 6 anos com valor residual de $8 milhões e uma vida econômica de 8 anos com valor residual de $ 6 milhões também são possíveis. Se a TMA é 10% a.a. analise a sensibilidade do CAE a mudança nas estimativas.

por **Baltuilhe** Dom 17 Nov 2019, 19:44

Boa noite!

Dados:

Custo Inicial (PV) : $72 milhões
TMA : 10% a.a.
1. Vida Econômica (n): 7 anos; Valor Residual (FV): 7 milhões
2. Vida Econômica (n): 6 anos; Valor Residual (FV): 8 milhões
3. Vida Econômica (n): 8 anos; Valor Residual (FV): 6 milhões

Formulário:
Para atualizar para a data ZERO:
a_{n\!\!\urcorner\; i}=\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}

Para capitalizar para a data N:
s_{n\!\!\urcorner\; i}=\dfrac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}

Usando-se as duas fórmulas:
CAE=\dfrac{PV}{a_{n\!\!\urcorner\; i}}-\dfrac{FV}{s_{n\!\!\urcorner\; i}}

Agora, só substituir para cada um dos casos acima.
a) Vida Econômica (n): 7 anos; Valor Residual (FV): 7 milhões
\begin{cases}a_{7\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-7}}{10\%}=\dfrac{1-1,1^{-7}}{0,1}\approx 4,868419\\
s_{7\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{\left(1+10\%\right)^{7}-1}{10\%}=\dfrac{1,1^{7}-1}{0,1}\approx 9,487171\end{cases}

Então:
CAE=\dfrac{72\,000\,000}{a_{7\!\!\urcorner\; 10\%}}-\dfrac{7\,000\,000}{s_{7\!\!\urcorner\; 10\%}}\\\\CAE\approx\dfrac{72\,000\,000}{4,868419}-\dfrac{7\,000\,000}{9,487171}\therefore\boxed{CAE\approx 14\,051\,356\,93}

b) Vida Econômica (n): 6 anos; Valor Residual (FV): 8 milhões
\begin{cases}a_{6\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-6}}{10\%}=\dfrac{1-1,1^{-6}}{0,1}\approx 4,355261\\
s_{6\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{\left(1+10\%\right)^{6}-1}{10\%}=\dfrac{1,1^{6}-1}{0,1}\approx 7,715610\end{cases}

Então:
CAE=\dfrac{72\,000\,000}{a_{6\!\!\urcorner\; 10\%}}-\dfrac{8\,000\,000}{s_{6\!\!\urcorner\; 10\%}}\\\\CAE\approx\dfrac{72\,000\,000}{4,355261}-\dfrac{8\,000\,000}{7,715610}\therefore\boxed{CAE\approx 15\,494\,871,20}

c) Vida Econômica (n): 8 anos; Valor Residual (FV): 6 milhões
\begin{cases}a_{8\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-8}}{10\%}=\dfrac{1-1,1^{-8}}{0,1}\approx 5,334926\\
s_{8\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{\left(1+10\%\right)^{8}-1}{10\%}=\dfrac{1,1^{8}-1}{0,1}\approx 11,435888\end{cases}

Então:
CAE=\dfrac{72\,000\,000}{a_{8\!\!\urcorner\; 10\%}}-\dfrac{6\,000\,000}{s_{8\!\!\urcorner\; 10\%}}\\\\CAE\approx\dfrac{72\,000\,000}{5,334926}-\dfrac{6\,000\,000}{11,435888}\therefore\boxed{CAE\approx 12\,971\,305\,66}

Bom, de todas as 'propostas', a que tem menor custo é a c)
Essa deve, portanto, ser a proposta escolhida.

Espero ter ajudado!

por carolzinhag3 Dom 17 Nov 2019, 20:06

A depreciação não entraria??

por carolzinhag3 Seg 18 Nov 2019, 15:00

baltuilhe escreveu:Boa noite!

Dados:

Custo Inicial (PV) : $72 milhões
TMA : 10% a.a.

Vida Econômica (n): 7 anos; Valor Residual (FV): 7 milhões
Vida Econômica (n): 6 anos; Valor Residual (FV): 8 milhões
Vida Econômica (n): 8 anos; Valor Residual (FV): 6 milhões

Formulário:
Para atualizar para a data ZERO:
a_{n\!\!\urcorner\; i}=\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}

Para capitalizar para a data N:
s_{n\!\!\urcorner\; i}=\dfrac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}

Usando-se as duas fórmulas:
CAE=\dfrac{PV}{a_{n\!\!\urcorner\; i}}-\dfrac{FV}{s_{n\!\!\urcorner\; i}}

Agora, só substituir para cada um dos casos acima.
a) Vida Econômica (n): 7 anos; Valor Residual (FV): 7 milhões
\begin{cases}a_{7\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-7}}{10\%}=\dfrac{1-1,1^{-7}}{0,1}\approx 4,868419\\
s_{7\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{\left(1+10\%\right)^{7}-1}{10\%}=\dfrac{1,1^{7}-1}{0,1}\approx 9,487171\end{cases}

Então:
CAE=\dfrac{72\,000\,000}{a_{7\!\!\urcorner\; 10\%}}-\dfrac{7\,000\,000}{s_{7\!\!\urcorner\; 10\%}}\\\\CAE\approx\dfrac{72\,000\,000}{4,868419}-\dfrac{7\,000\,000}{9,487171}\therefore\boxed{CAE\approx 14\,051\,356\,93}

b) Vida Econômica (n): 6 anos; Valor Residual (FV): 8 milhões
\begin{cases}a_{6\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-6}}{10\%}=\dfrac{1-1,1^{-6}}{0,1}\approx 4,355261\\
s_{6\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{\left(1+10\%\right)^{6}-1}{10\%}=\dfrac{1,1^{6}-1}{0,1}\approx 7,715610\end{cases}

Então:
CAE=\dfrac{72\,000\,000}{a_{6\!\!\urcorner\; 10\%}}-\dfrac{8\,000\,000}{s_{6\!\!\urcorner\; 10\%}}\\\\CAE\approx\dfrac{72\,000\,000}{4,355261}-\dfrac{8\,000\,000}{7,715610}\therefore\boxed{CAE\approx 15\,494\,871,20}

c) Vida Econômica (n): 8 anos; Valor Residual (FV): 6 milhões
\begin{cases}a_{8\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{1-\left(1+10\%\right)^{-8}}{10\%}=\dfrac{1-1,1^{-8}}{0,1}\approx 5,334926\\
s_{8\!\!\urcorner\; 10\%}=\dfrac{\left(1+10\%\right)^{8}-1}{10\%}=\dfrac{1,1^{8}-1}{0,1}\approx 11,435888\end{cases}

Então:
CAE=\dfrac{72\,000\,000}{a_{8\!\!\urcorner\; 10\%}}-\dfrac{6\,000\,000}{s_{8\!\!\urcorner\; 10\%}}\\\\CAE\approx\dfrac{72\,000\,000}{5,334926}-\dfrac{6\,000\,000}{11,435888}\therefore\boxed{CAE\approx 12\,971\,305\,66}

Bom, de todas as 'propostas', a que tem menor custo é a c)
Essa deve, portanto, ser a proposta escolhida.

Espero ter ajudado!