Distancia ponto

Na imagem ao lado, estão representados 4 quadrados e seus respectivos centros. Sabendo-se que a sequência de quadrados continua na ordem crescente e os vértices do primeiro quadrado são os pontos A(0; 1), B(2; 0), C(3; 2) e D(1; 3), o centro do vigésimo quadrado da sequência será o ponto: 





a) (20; 20) b) (20,5; 39,5) c) (21,5; 21,5) d) (22,5; 21) e) (30; 58,5)

r=b

Vamos interpretar os centros como uma reta. O primeiro centro é o ponto médio da diagonal do quadrado (segmento BD). Então, seu ponto equivale a M(x;y) tal que x = (2+1)/2 e y = (3+0)/2. Assim, M(1,5;1,5).

De modo análogo, vamos fazer o cálculo do segundo centro, que é o ponto médio do ponto (2;5) e do ponto C(3;2). O ponto médio é dado por N(x;y) tal que x = (2+3)/2 e y = (5+2)/2. Assim, N(2,5; 3,5).

Como estamos interpretando os pontos médios como uma reta, ela pode ser escrita em forma de uma função afim. Calculando o coeficiente desta reta, temos:

a = Δy/Δx
a = (3,5-1,5)/(2,5-1,5)
a = 2/1
a = 2.

Assim, temos uma equação "primitiva" f(x) = 2x + b

Como sabemos que o ponto M(1,5; 1,5) pertence a esta reta, calculamos o b:

1,5 = 2.(1,5) + b
1,5 = 3 + b
b = -1,5.

Assim, nossa equação fica f(x) = 2x - 1,5.

Como os valores de x sempre crescem 1 a 1, ou seja, para o primeiro centro x = 1,5; para o segundo centro x = 2,5; e assim sucessivamente, o 20º centro tem x = 20,5, já que estamos tratando de uma reta. Para calcular o seu valor de y, basta jogar na equação acima formada:

f(20,5) = 2.20,5 - 1,5
f(20,5) = 41 - 1,5
f(20,5) = 39,5.

O centro do 20º quadrado é, então, (20,5; 39,5).

Problemão, né?
Essa é a via mais "teórica" de resolução, mas podemos jogar uma coisa para facilitar:

Observe que os pontos de y "superiores" dos quadrados sempre crescem em números ímpares e na sequência (3, 5, 7, 9...) e os pontos de x "superiores" crescem em sequência natural sem o 0 (1, 2, 3, 4...).

Observe, também, que os pontos de x "inferiores" sempre crescem em números naturais começando pelo 2 (2, 3, 4, 5, ...) e os pontos de y "inferiores" sempre crescem em números pares (0, 2, 4, 6...).

Sabendo disso, é intuitivo ver que o ponto "superior" do vigésimo quadrado terá y = 41 e x = 20, assim como o ponto "inferior" do vigésimo quadrado terá y = 38 e x = 21. Fazendo-se o ponto médio desses dois pontos analisados, temos o centro do quadrado, já que o segmento que une os dois pontos forma a diagonal do 20º quadrado.