Propriedade numérica

[ltr]Uma propriedade interessante de número[/ltr]
[ltr]Vamos primeiro escrever um natural natural arbitrário (por exemplo, 2538) e depois adicionar os quadrados de seus dígitos (2^2 + 5^2 + 8^2 + 3^2 = 102). Em seguida, fazemos o mesmo com o número obtido (1^2 + 0^2 + 2^2 = 5) e procedemos da mesma maneira (5^2 = 25, 2^2 + 5^2 = 29, 2^2 + 9^2 = 85, ...)[/ltr]
[ltr]Prove que, a menos que esse procedimento leve ao número 1 (nesse caso, é claro que o número 1 se repetirá indefinidamente, ele deve levar ao número 145, e o ciclo a seguir ocorrerá repetidamente: 145, 42, 20, 4, 16 , 37, 58, 89[/ltr]
[ltr]Questão original: An interesting property of number[/ltr]
[ltr]Let us first write an arbitrary natural natural (for example, 2538), and then add the squares of its digits (2^2 + 5^2 + 8^2 +3^2 = 102). Next, we do the same with the number obtained (1^2 + 0^2 + 2^2 =5), and proceed in the same way (5^2 = 25, 2^2 + 5^2 = 29, 2^2 + 9^2 = 85,...)[/ltr]

[ltr]Prove that unless this procedure leads to the number 1 (in wich case the number 1 will of course recur indefinitely, it must lead to the number 145, and the following cycle will occur again and again: 145, 42, 20, 4, 16 , 37, 58, 89[/ltr]

Primeiro, determine quando o algoritmo de soma dos quadrados dos dígitos deve dar um resultado com menos dígitos que o número inicial. Um número com dígitos  n  não pode produzir uma soma dos quadrados de seus dígitos maior que 81n  e isso acontece quando cada dígito é  9 . Um número com dígitos  n  é > 10 ^ {n-1} . Portanto, se  81n <10 ^ {n-1} , o algoritmo produzirá um número com menos dígitos que o número inicial. Você pode ver que isso ocorre por  n ≥ 4 , mas não por  n = 3 ;  324 <1000 \ 243> 100 . Portanto, números com   4 ou mais dígitos produzirão resultados mais curtos, o que significa que qualquer número inicial chegará a um número com  3 ou menos.

O maior número possível de três dígitos é  999 , que gera  243 , portanto, qualquer número de  244  a  999 produzirá um número de  243  ou menor; portanto, você só precisa se preocupar com números de 1 a  243 . Você poderia levar esse tipo de análise adiante, mas não há necessidade. Depois de ter um número dentro desse intervalo, a soma dos quadrados de seus dígitos sempre produzirá outro número dentro desse intervalo. Se você repetir o algoritmo  243  ou mais vezes, os números resultantes convergirão (como você sugere, para  1 ), ou será necessário repetir; mais de  243  resultados, todos dentro dos primeiros números de  243 , significam uma repetição de algum tipo, seja uma convergência ou um ciclo. Você já identificou esse ciclo. A única questão em aberto é se o ciclo que você identificou é o único possível.