Potência de ponto - Geometria Plana

por NMS50 Ter 10 Set 2019, 20:45

A figura mostra um campo de futebol com largura 2a e comprimento 2b. As traves dos gols estão represen-tadas pelos pontos A1, A2, B1 e B2.
O comprimento dos gols é A1A2 = B1B2 = 2 l.O ponto P é o ponto da linha lateral que vê o gol AA12 sob o ângulo máximo. Calcule PT.

Potência de ponto - Geometria Plana Cymera13

Gabarito: √a^2- l^2

por **Elcioschin** Ter 10 Set 2019, 22:04

Sejam:

PT = x
A2^PT = α ---> A1^PT = β ---> A1^PA2 = β - α = θ

A2T = (2.A - 2.L)/2 ---> A2T = A - L
A1T = A2T + A1A2 ---> A1T = (A - L) + 2.L ---> A1T = A + L

tgα = A2T/PT ---> tgα = (A - L)/x
tgβ = A1T/PT ---> tgβ = (A + L)/x

tg(β - α) = (tgβ - tgα)/(1 + tgα.tgβ) ---> tgθ = 2.L.x/(x² + a² - L²)

θ será máximo quando a função tgθ for máxima, isto é, quando a derivada da função tgθ for nula:

(tgθ)' = [(x² + a² - L²).2.L - (2.L.x).2.x)]/(x² + a² - L²)²

Para a derivada ser nula devemos ter o seu numerador nulo:

(x² + a² - L²).2.L - (2.L.x).(2.x) = 0 ---> : 2.L

x² + a² - L² - 2.x² = 0

x² = a² - L²

x = √(a² - L²)

por NMS50 Qua 11 Set 2019, 10:38

Bom dia Élcio!
Poderia me explicar essa igualdade: tg(β - α) = (tgβ - tgα)/(1 + tgα.tgβ) ---> tgθ = 2.L.x/(x² + a² - L²)

Estou com dificuldade de entender essa divisão por (1 + tgα.tgβ) .

Obrigada pela resolução!

por **Elcioschin** Qui 12 Set 2019, 09:53

Então você precisa reestudar a teoria a respeito. As equações abaixo são básicas no estudo da trigonometria:

Equações das funções trigonométricas da soma ou diferença entre dois arcos:

sen(x ± y) = senx.cosy ± seny.cosx

cosx(x ± y) = cosx.cosy -+ senx.seny

tg(x ± y) = (tgx ± tgy)/(1 -+ tgx.tgy)

por NMS50 Sáb 14 Set 2019, 13:52

Obrigada!

por JohnnyC Dom 11 Out 2020, 15:21

Pessoal e Mestre, tem alguma forma de resolver sem usar derivada ? Ou só com essa noção de ensino superior ?

por **Elcioschin** Dom 11 Out 2020, 15:25

Eu não conheço, mas pode ser que algum colega do fórum conheça.

por **Medeiros** Seg 12 Out 2020, 00:33

outro modo -- atendendo a solicitação do Johnny.

ja está estabelecido, na linha lateral do campo, o ponto P como a melhor visão do gol. No entanto esse não é o único ponto que tem o mesmo ângulo de visão; um arco capaz do segmento A₁A₂ que passe por P possui o mesmo ângulo.

O centro do arco capaz está sobre a mediatriz de A₁A₂, que é justamente a linha axial do campo, logo a distância de P até essa mediatriz é a metade da largura do campo, ou seja, a. Portanto o raio de tal arco mede r = a. Agora é com Pitágoras.