Análise combinatória de duplas de volêi

por Dr.Astro Ter 10 Set 2019, 12:05

Em uma competição de vôlei de praia participaram n duplas. Ao final, todos os adversários se cumprimentaram uma única vez com apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 180 apertos de mãos, podemos concluir que n é igual a:
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12

Essa questão tem resolução na internet. Porém, toda vez que a enfrento não consigo raciocinar sobre os passos necessários. Eu meio que sei como chegar nela(por causa dos exercícios na internet), mas não compreendi o raciocínio envolvido.
Alguém pode me ajudar explicando detalhadamente? Desde já, agradeço.

por **Elcioschin** Ter 10 Set 2019, 13:35

Esqueça, por enquanto as duplas. Vamos considerar k pessoas

Cada 1 das pessoas cumprimenta as demais k - 1 pessoas.
Acontece que, A cumprimentar B é o mesmo que B cumprimentar A: deve-se dividir por 2 o resultado:

k.(k - 1)/2 = x cumprimentos

Podemos chegar ao mesmo resultado com C(k, 2) = k!/2!.(k - 2) = k.(k - 1)/2

Acontece que, na questão, temos n duplas ou 2.n pessoas ---> k = 2.n
Acontece também que os componentes de uma dupla NÃO se cumprimentam entre si, somente os adversários ---> n - 1 vira n - 2

(2.n).(2.n - 2)/2 = 180 ---> n² - n - 90 = 0 ---> n = 10

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