Indução matemática - Exercícios

por ftiezzi5 Qua 12 Jun 2019, 22:18

Boa noite,

Gostaria de ajuda para a resolução de duas questões de indução.

Segue

1) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} , \forall n \geqslant 1

2) 2n + 1 < 2^n , \forall n \geq 3

por **Forken** Qui 13 Jun 2019, 08:27

\\1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4},\;\forall n\geq 1\\
\\\text{Base:}\;n=1\Rightarrow \frac{1^2(1+1)^2}{4}=1=1^3 \;\checkmark\\\\
\text{Hip\'otese:}\;n=k \Rightarrow 1^3+2^3+3^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4},\;\forall k\geq 1\\\\
\text{Tese:}\;n=k+1\Rightarrow \underset{\text{hip\'otese}}{\underbrace{1^3+2^3+3^3+...+k^3}}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4},\;\forall k\geq 1\therefore \\\\

\\\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\\\
\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\\\
\frac{(k+1)^2\cdot \left [ k^2+4(k+1) \right ]}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\\\
\frac{(k+1)^2\cdot \left ( k^2+4k+4 \right )}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\\\
\frac{(k+1)^2\cdot \left ( k+2 \right )^2}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\;\checkmark\\\\

por ftiezzi5 Dom 16 Jun 2019, 16:06

Muito obrigado!

por **Forken** Sex 28 Jun 2019, 14:02

\\2n+1<2^n,\;\forall n\geq 3\\
\text{Base: } n=3\Rightarrow 7<8 \;\checkmark\\
\text{Hip\'otese: }n=k\Rightarrow 2k+1<2^k\\
\text{Tese: }2(k+1)+1<2^{(k+1)},\;\forall k\geq 3\\\\
2k+2+1<2\cdot 2^k\\
\text{Por hip\'otese: }\\
2^k>2k+1\\
2\cdot 2^k>2(2k+1)=4k+2=(2k+2)+2k>(2k+2)+1\;pois\;2k\geq 6>1
\\\text{Por transitividade: }2\cdot 2^k>(2k+2)+1\therefore 2^{(k+1)}>2(k+1)+1\blacksquare

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