Área da coroa circular
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Área da coroa circular
(UPE) A logomarca de uma empresa é formada por dois círculos tangentes e por três segmentos de reta paralelos, sendo que o segmento AB contém os centros dos círculos, e os segmentos MN e PQ são tangentes ao círculo menor, medindo 6 cm cada um, como mostra a figura a seguir. Quanto mede a área da superfície cinza da logomarca?
a) 9pi/2
b)3pi/2
c) 9pi
d) 3pi
e) 2pi
resposta letra c
a) 9pi/2
b)3pi/2
c) 9pi
d) 3pi
e) 2pi
resposta letra c
graceraira- Iniciante
- Mensagens : 31
Data de inscrição : 12/04/2019
Idade : 23
Localização : SP, São Paulo, Brasil
Re: Área da coroa circular
Seja O o centro do círculo maior e origem de um sistema xOy
Sejam R, r os raios maior e menor
x^2 + y^2 = R^2
xP = xQ = r ---> r^2 + y^2 = R^2 ---> y^2 = R^2 - r^2
yQ = + \/(R^2 - r^2)
yP = - \/(R^2 - r^2)
PQ = yQ - yP ---> 6 = 2.\/(R^2 - r^2) ---> R^2 - r^2 = 9
S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi
Sejam R, r os raios maior e menor
x^2 + y^2 = R^2
xP = xQ = r ---> r^2 + y^2 = R^2 ---> y^2 = R^2 - r^2
yQ = + \/(R^2 - r^2)
yP = - \/(R^2 - r^2)
PQ = yQ - yP ---> 6 = 2.\/(R^2 - r^2) ---> R^2 - r^2 = 9
S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71854
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Área da coroa circular
apenas por geometria plana.
Sejam R e r os raios dos círculos maior e menor respectivamente e O o centro do círculo maior. A área procurada é
S = \pi.R^2 - \pi.r^2 \to S = \pi.(R^2 - r^2) \;\;\text{............(1)}
trace o diâmetro YZ do círculo maior perpendicular em X à corda PQ.
propriedade: o raio perpendicular a uma corda divide esta ao meio.
propriedade das cordas que se cruzam:
XY.XZ = XP.XQ
(R + r).(R - r) = 3*3 -----> R2 - r2 = 9 ................(2)
(2) em (1) ----->S = 9 \pi
Sejam R e r os raios dos círculos maior e menor respectivamente e O o centro do círculo maior. A área procurada é
trace o diâmetro YZ do círculo maior perpendicular em X à corda PQ.
propriedade: o raio perpendicular a uma corda divide esta ao meio.
propriedade das cordas que se cruzam:
XY.XZ = XP.XQ
(R + r).(R - r) = 3*3 -----> R2 - r2 = 9 ................(2)
(2) em (1) ----->
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Área da coroa circular
Outro método rápido: S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi. (R^2 - r^2)
Tanto faz onde está o círculo menor (dentro do maior).
Vamos, então deslocar o menor, de modo que seu centro coincida com o centro O do maior:
OX = r ---> OP = R ---> PX = QX = 3
OP^2 - OX^2 = PX^2 ---> R^2 - r^2 = 3^2 ---> R^2 - r^2 = 9
S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi
Tanto faz onde está o círculo menor (dentro do maior).
Vamos, então deslocar o menor, de modo que seu centro coincida com o centro O do maior:
OX = r ---> OP = R ---> PX = QX = 3
OP^2 - OX^2 = PX^2 ---> R^2 - r^2 = 3^2 ---> R^2 - r^2 = 9
S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71854
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Área da coroa circular
Olá! Você poderia carregar uma imagem com essas informações sobre a figura? Estou tendo dificuldade para identificar y, x etc na figura da questão.Elcioschin escreveu:Seja O o centro do círculo maior e origem de um sistema xOy
Sejam R, r os raios maior e menor
x^2 + y^2 = R^2
xP = xQ = r ---> r^2 + y^2 = R^2 ---> y^2 = R^2 - r^2
yQ = + \/(R^2 - r^2)
yP = - \/(R^2 - r^2)
PQ = yQ - yP ---> 6 = 2.\/(R^2 - r^2) ---> R^2 - r^2 = 9
S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi
meunomeeluisa- Iniciante
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Elcioschin- Grande Mestre
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Localização : Santos/SP
meunomeeluisa e claralirasll gostam desta mensagem
Elcioschin- Grande Mestre
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Localização : Santos/SP
meunomeeluisa gosta desta mensagem
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