Taxa com o método de Newton para depositos antecipados

O MÉTODO DE NEWTON APLICADO PARA CÁLCULO DA TAXA DE JUROS COM PAGAMENTOS ANTECIPADOS

Pessoal estou com uma dúvida e preciso de ajuda!

Qual a função derivada do cálculo de juros para depósitos antecipados?

Preciso resolver usando o método de Newton-Raphson

Por exemplo como eu resolveria a seguinte questão?

Uma pessoa faz uma aplicação com 8 depósitos mensais iguais no valor de R$150,00 no início do mês (antecipados), que gerou um valor final de R$1.500,00 Qual a taxa de juros da aplicação?

A equação geral de juros para valor futuro de série uniforme antecipada é:


onde:

FV = 1.500,00
PMT = 150,00
n = 8 meses
i = ?

Pessoal, alguém pode ajudar? só preciso saber a derivada da função abaixo, meu resultado não bate....

f(i) = -i*FV + PMT*[(1+i)^n+1 -(1+i)]

Boa noite!

Vamos ver se consigo ajudar

Dados:
\begin{cases}FV=1\,500\\PMT=150\\n=8\i=?\end{cases}

Fórmula:
FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}\right]\cdot\left(1+i\right)\\FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{n+1}-\left(1+i\right)}{i}\right]

Desta última fórmula podemos montar a função que nos entregará a solução.
i\cdot FV=PMT\cdot\left[\left(1+i\right)^{n+1}-\left(1+i\right)\right]\\-i\cdot FV+PMT\cdot\left[\left(1+i\right)^{n+1}-\left(1+i\right)\right]=0\\f(i)=-i\cdot FV+PMT\cdot\left[\left(1+i\right)^{n+1}-\left(1+i\right)\right]

A função que temos que montar para obter a resposta é a seguinte:
\phi(i)=i-\dfrac{f(i)}{f'(i)}

Portanto, precisamos da derivada daquela função:
f'(i)=-FV+PMT\cdot\left[\left(n+1\right)\cdot\left(1+i\right)^{n}-1\right]

Agora, montando a função de iteração:
Começando com i=0,1 (10%):
\begin{tabular}{c|c|c|c}i&f(i)&f'(i)&phi(i)\\10,00\%&38,6922&1\,243,8449&6,89\%\\6,89\%&9,5428&650,5432&5,42\%\\5,42\%&1,7817&409,2917&4,98\%\\4,98\%&0,1306&341,5275&4,94\%\\4,94\%&-0,0048&335,4561&4,94\%\end{tabular}

Portanto, 4,94% é a taxa procurada!

Espero ter ajudado!

Olá Eduardo. Você me mandou uma MP e abaixo segue a resposta.

Como você ja descreveu, a equação geral de juros para valor futuro de série uniforme antecipada é:

\boxed{ FV = PMT \cdot\left[ \frac {(1+i)^n -1}{i} \right] \cdot (1+i) }\;\;\;\;\;\;\;\; (1)

Dividindo ambos os membros da equação geral por FV e multiplicando por i:

i = \frac {PMT}{FV} \cdot \Big[ (1+i)^n -1 \Big] \cdot (1+i)

Para simplificar os cálculos faz-se x = 1+i (ou, i = x-1). Então vem:

x-1 = \frac {PMT}{FV} \cdot \Big[ x^n -1 \Big] \cdot x

x-1 = \frac {PMT}{FV} \cdot \left( x^{n+1} - x \right)

x-1 = \frac {PMT}{FV} \cdot x^{n+1} - \frac{PMT}{FV} \cdot x

ou:

\frac {PMT}{FV} \cdot x^{n+1} - \frac{PMT}{FV} \cdot x - x + 1 = 0

isto é:

\boxed{ \frac {PMT}{FV} \cdot x^{n+1} - \left( \frac{PMT}{FV} + 1 \right) \cdot x  + 1 = 0} \;\;\;\;\; (2) 


A Eq (2) é a forma polinomial exata da Eq. (1).

Substituindo na Eq. (2) os valores dados (FV=1500, PMT=150 e n= obtem-se:

\frac {150}{1500} \cdot x^{8+1} - \left( \frac{150}{1500} + 1 \right) \cdot x  + 1 = 0 

ou seja:

\boxed { x^9 - 11 x  + 10 = 0 } \;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)

Note que resultou numa equação do 9º grau. Então, como se vê, a determinação da taxa não é uma tarefa simples e pode-se dizer que é a parte mais penosa no cálculo dos juros financeiros.

Para as demais variáveis (PMT, FV, n) tem-se solução algébrica direta, explícita e exata com a Eq. (1), enquanto que para a taxa (i) a solução recai na Equação (2), que é polinomial de grau "n+1" e, portanto, admite "n+1" raízes, distintas ou não, reais ou complexas, só deus sabe. Como se trata de taxa de juros, sabemos que as soluções de valor negativo ou complexo são descartadas. Mas tem um pormenor: equações de grau superior ao 4º em geral não têm solução algébrica, salvo em raríssimos casos especiais. Existem alguns métodos e aplicativos que possibilitam a solução aproximada destas equações. Assim, uma vez calculado o valor de x com a Eq. (3), encontra-se a taxa fazendo i = 1-x.

Por isso que, não sem motivos, já há séculos, pesquisadores e estudiosos vêm se empenhando em encontrar soluções mais simples, diretas e explícitas para o cálculo da taxa, que possam ser utilizadas como alternativas à equação polinomial acima mostrada. Simpson apresentou sua fórmula em 1760; Baily em 1808; Lenzi em 1936; Karpin em 1967. É um desafio que ainda persiste nos tempos atuais. A equação de Cantrell é de 2007. A equação de Camargo-Rathie-Swamee é de 2018.

Os meios práticos alternativos atuais para determinação da taxa, usualmente empregados, são: a equação aproximativa de Baily; o uso de métodos iterativos (Newton-Raphson, bisseção, falsa posição, etc); o uso de aplicativos (Wolfram-Alpha, Symbolab); o uso de calculadoras financeiras (HP 12-C, Texas BA-II, Casio FC-200, etc); o uso de calculadoras do tipo científicas que possuam a função "solve" (Casio FX-991 e outras) e também o uso planilhas de cálculo do tipo Excel.

Pelo método iterativo de Newton (muito utilizado porque converge muito rapidamente) adota-se, de forma simplificada, os seguintes passos:

1 - Faça a equação geral [Eq. (3)] igual a f(x);
2 - Encontra-se a derivada dela f'(x);
3 - Arbitra-se um valor inicial válido x₀;
4 - Encontra-se novo valor x = x₀ - f(x₀)/f'(x₀);
5 - Compara-se o valor encontrado no passo 4 com o valor inicial;
6 - Se iguais, vai-se para o passo 7. Se diferentes, o novo valor passa a ser o valor inicial, e volta-se para o passo 4.
7 - O valor corrente é o valor procurado.
8 - Finaliza-se fazendo a taxa i = x-1

No fórum tem um post aqui https://pir2.forumeiros.com/t143415-calculo-da-taxa-com-o-metodo-de-newton#504070 chamado O MÉTODO DE NEWTON APLICADO AO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS que está bem pormenorizado e usa calculadora científica comum.

Acompanhe a brilhante solução acima do amigo Baltuilhe e não terá nenhuma dificuldade. Note que como Baltuilhe aqui no fórum é um dos mais versados em cálculos, ele nem precisou fazer a simplificação x = 1+i e calculou logo direto o valor de i.

LC, 03/04/2019.

Olá Eduardo.

Complementando a mensagem que postei anteriormente, segue abaixo a resolução, pormenorizada, passo a passo, pelo Método de Newton.

Foi demonstrado que a equação geral de juros para valor futuro de série uniforme antecipada é:

  \frac {PMT}{FV} \cdot x^{n+1} - \left( \frac{PMT}{FV} + 1 \right) \cdot x  + 1 = 0

Substituindo os valores que você forneceu:

  \frac {150}{1500} \cdot x^{8+1} - \left( \frac{150}{1500} + 1 \right) \cdot x  + 1 = 0

que resulta em:

x^9 - 11 x  + 10 = 0

Então a função f(x) é:

f(x) = x^9 - 11 x  + 10

e a derivada desta função é:

f'(x) = 9x^8 - 11

Então, pelo Método de Newton:

x = x_0 - \frac {f(x_0)}{f'(x_0)}

isto é:

x = x_0 - \frac {x_0^9 - 11 x_0  + 10}{9x_0^8 - 11}

Como a taxa, por definição, é i = x-1, tem-se que x>1 a fim de que a taxa não seja zero nem negativa. Portanto vamos fazer o valor inicial de x como sendo x₀=1,1 pra ver no que dá.

Fazendo as contas, tal como Baltuilhe fez acima:

- Primeira iteração: com x₀=1,10000

x = 1,10000 - \frac {1,10000^9 - 11 \times 1,10000  + 10}{9 \times 1,10000^8 - 11} = 1,05426

- Segunda iteração: x₀=1,05426

x = 1,05426 - \frac {1,05426^9 - 11 \times 1,05426  + 10}{9 \times 1,05426^8 - 11} = 1,04986

- Terceira iteração: x₀=1,04986

x = 1,04986 - \frac {1,04986^9 - 11 \times 1,04986  + 10}{9 \times 1,04986^8 - 11} = 1,04941

- Quarta iteração: x₀=1,04941

x = 1,04941 - \frac {1,04941^9 - 11 \times 1,04941  + 10}{9 \times 1,04941^8 - 11} = 1,04941

Como nesta iteração o valor de x₀ coincide com o valor de x, significa que já podemos interromper o cálculo e neste caso a raiz da equação é o valor atual de x, qual seja x=1,04941 (com precisão até a 5ª casa decimal, isto é, se houver erro ele está da 6ª casa decimal em diante, o que significa, para taxa de juros, que está bom até demais).

Mas foi definido que a taxa é i = x-1. Portanto:

i = 1,04941 - 1

i = 0,04941 = 4,941/100

\boxed{ i \approx 4,94\%\;a.m. }

Veja que este resultado bate com o resultado do Wolfram-Alpha em https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E9+-+11x+%2B+10+%3D+0