(CN-00)Losango

Considere um retângulo inscrito em um losango, conforme a figura abaixo.

Se as diagonais do losango medem,respectivamente ,8 cm e 12 cm e a área do retângulo é 24cm^2, então o perímetro deste retângulo, em cm ,é igual a:
a)28
b)24
c)22
d)20
e)18

Seja ABCD o losango, sendo A o vértice superior e B o da esquerda
Seja EFGH o retângul,o sendo E o vértice superior direito e F o inferior direito
Seja O o centro da figura
Sejam a, b os lados maior e menor do retângulo ----> ab = 24 ----> b = 24/a

AC = 8 ----> AO = CO = 4
BD = 12 ---> BO = DO = 6

Seja M o ponto médio EH e N o ponto médio de HG:

AM = AO - MO ----> AM = 4 - b/2 ----> AM = (8 - b)/2 ----> I
BN = BO - NO -----> BN = 6 - a/2 ----> BN = (12 - a)/2 ----> II

Triângulos retângulos AME e BNE são semelhantes:

AM/ME = EN/BN ----> (8 - b)/a = b/(12 - a) ------> 2a + 3b = 24 ---->

2a + 3*(24/a) = 24 ----> a² - 12a + 36 = 0 ----> Raiz dupla ----> a = 4 ----> b = 6

P = 2a + 2b -----> P = 2*4 + 2*6 ----> P = 20

Professor, o senhor por engano colocou N no lugar de P né? Pode exemplificar desenhando a imagem pra melhor entendimento?

Sim, eu digitei errado P no lugar de N

Já editei minha mensagem original. Tente fazer o desenho seguindo minhas orientações

Podemos fazer o seguinte para descartar alternativas. Se a área do retângulo é 24, então temos que a.b=24 e temos 5 alternativas de perímetro, mas só os múltiplos de 24 devem ser considerados, são eles: 24;12;8;6;4;3;2;1. 

a) a+b=14 e a.b=24 temos a=12 e b=2 
b) a+b=12 e a.b=24 não temos números 
c) a+b=11 e a.b=24 temos a=8 e b=3 
d) a+b=10 e a.b=24 temos a=6 e b=4 
e) a+b=9 e a.b= 24 não temos números

então consideraremos só as alternativas A, C e D.

Elcio, acho que vc comete um pequeno erro nessa passagem -> 

" Triângulos retângulos AME e BNE são semelhantes "
 
Acho que o certo seria AMH E BNH. Veja figura ->

Você está certo: foi distração minha ao digitar

Qual o critério de afirmar que os triângulos retângulos são semelhantes?

Kaio Felippe Secchinato, aqui estão os critérios ->

http://www.brasilescola.com/matematica/congruencia-e-semelhanca-de-triangulos.htm
 
No caso do exercício, veja como as retas BD e HE são paralelas