1-sen²2x/2 com arco metade

por **Emanuel Dias** Qua 06 Fev 2019, 17:46

Resolver a equação no intervalo de 1 volta

sin^{6}(\frac{x}{2})+cos^{6}(\frac{x}{2})=\frac{7}{16}

Eu tentei usar a identidade 1-sen²2x/2 ficando 1-sen²x/2 mas claramente a identidade não vale para isso

por **Giovana Martins** Qua 06 Fev 2019, 18:14

\\\left [ sen^2(x) \right ]^3+\left [ cos^2(x) \right ]^3=\left [ sen^2(x)+cos^2(x) \right ]\left [ sen^4(x)-sen^2(x)cos^2(x)+cos^4(x) \right ]\\\\sen^6(x)+cos^6(x)= \left [sen^4(x)+cos^4(x) \right ]-sen^2(x)cos^2(x)\\\\sen^6(x)+cos^6(x)= \left [ sen^2(x)+cos^2(x) \right ]^2-2sen^2(x)cos^2(x)-sen^2(x)cos^2(x)\\\\sen^6(x)+cos^6(x)= 1-\frac{1}{2}sen^2(2x)-sen^2(x)cos^2(x)\\\\sen^6(x)+cos^6(x)=1-\frac{1}{2}sen^2(2x)-\frac{1}{4}sen^2(2x)=1-\frac{3}{4}sen^2(2x)\\\\\mathrm{Para\ }x=\frac{\theta }{2}:sen^6\left ( \frac{\theta }{2} \right )+cos^6\left ( \frac{\theta }{2} \right )=1-\frac{3}{4}sen^2(\theta )=\frac{7}{16}\ (1)\\\\\mathrm{De\ }(1):\ \boxed {S=\left \{ \theta\in \mathbb{R}\ /\ \theta =\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right \}}

Na primeira volta as soluções são pi/3 e 2pi/3