Equilíbrio Térmico e Massas Gasosas

Num tubo muito fino,com formato circular, existem N massas  gasosas iguais ideais,em equilíbrio térmico,separadas por diafragmas não-porosos.A j-ésima ( 1 ≤ j ≤ N ) massa gasosa possui massa Molar Mj e ocupa um ângulo θj.Assim :

a) \;\;\Theta _{j} =\frac{\pi}{2M_{j}\sum ^{N}_{k=1}M_{k}^{-1}}

b) \;\;\Theta _{j} =\frac{2\pi}{M_{j}\sum ^{N}_{k=1}M_{k}^{-1}}

c) \;\;\Theta _{j} =\frac{2\pi}{3M_{j}\sum ^{N}_{k=1}M_{k}^{-1}}

d)  \;\;\Theta _{j} =\frac{2\pi}{M_{j}\sum ^{N-1}_{k=1}M_{k}^{-1}}

e)  \;\;\Theta _{j} =\frac{2\pi}{M_{j}\sum ^{N+1}_{k=1}M_{k}^{-1}}

Gab.: Diz ser B, mas não entendi como chegar lá..

Primeiro, vamos tentar entender o que está acontecendo. Veja a seguinte figura:



Note que cada gás está separado por êmbolos, que o problema chama de diafragma. Como consequência, as pressões dos gases são iguais para que eles possam estar em equilíbrio . Além disso, o problema nos dá que a temperatura dos gases são iguais (equilíbrio térmico), bem como suas massas. 

Vamos achar o volume de cada gás em função dos parâmetros do problema, para usarmos a informação de que os gases são ideais. Como o tubo é muito fino, podemos dizer que cada "pedaço" de tubo é um cilindro de área S e altura igual ao comprimento desse "pedaço" de circunferência de raio r. Com isso:

\\V=S.H\\\\V=S.r.\theta

Usando a informação de que os gases são ideais:

\\PV=nRT\\\\P.S.r.\theta=\frac{m}{M}RT\\\\\theta=\frac{mRT}{PSr}.\frac{1}{M}\\\\\theta=k.\frac{1}{M}

Note que k é igual para qualquer um dos gases, de modo que essa expressão vale sempre. Usando essa expressão para o "gás j" e usando ainda que a soma de todos os ângulos é 2π:


\\\begin{cases}\theta_{j}=k.\frac{1}{M_{j}}\\\theta_{1}+\theta_{2}+...+\theta_{N}=2\pi\end{cases}\rightarrow\begin{cases}k=\theta_{j}.M_{j}\\k.(\frac{1}{M_{1}}+\frac{1}{M_{2}}+...+\frac{1}{M_{N}})=2\pi\end{cases}

Substituindo a primeira na segunda:

\\\theta_{j}.M_{j}.(\frac{1}{M_{1}}+\frac{1}{M_{2}}+...+\frac{1}{M_{N}})=2\pi\\\\\theta_{j}=\frac{2\pi}{M_{j}.(\frac{1}{M_{1}}+\frac{1}{M_{2}}+...+\frac{1}{M_{N}})}\\\\\boxed{\theta_{j}=\frac{2\pi}{M_{j}.\sum_{k=1}^{N}(M_{K})^{-1}}}