(ESPM - SP 2017.1) Questão 56 do Caderno de Questões M

por nopz Ter 04 Dez 2018, 19:37

Na progressão geométrica (1,2,4,8,...), sendo an o n-ésimo termo e Sn a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que:

a) Sn = 2 . An
b) Sn = An+1
c) Sn = An+1 + 1
d) Sn = An+1 - 1
e) Sn[size=13] = 2.An+1[/size]

Resolução:

Consegui chegar até o Sn=2^n - 1 . Acertei a questão meio que no "feeling" mas não sei como se da o desenvolvimento (alternativa D)

Qual é o raciocínio para chegar a resposta correta?

por dd0123 Ter 04 Dez 2018, 19:39

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por **Elcioschin** Ter 04 Dez 2018, 21:28

a₁ = 1 ---> q = 2

a_n+1 = a₁.qⁿ ---> a_n+1 = 1.2ⁿ ---> a_n+1 = 2ⁿ ---> 2ⁿ = a_n+1

Sn = a₁.(qⁿ - 1)/(q - 1) ---> Sn = 1.(2ⁿ - 1)/(2 - 1) ---> Sn = 2ⁿ - 1 ---> Sn = a_n+1 - 1

por nopz Qua 05 Dez 2018, 00:08

Elcioschin escreveu:a₁ = 1 ---> q = 2

a_n+1 = a₁.qⁿ ---> a_n+1 = 1.2ⁿ ---> a_n+1 = 2ⁿ/2 ---> 2ⁿ = 2.a_n+1

Sn = a₁.(qⁿ - 1)/(q - 1) ---> Sn = 1.(2ⁿ - 1)/(2 - 1) ---> Sn = 2ⁿ - 1 ---> Sn = 2.a_n+1 - 1

Por que a_n+1 = 2ⁿ/2, de onde surgiu essa divisão por 2?

por **Elcioschin** Qua 05 Dez 2018, 10:09

Erro meu de digitação. Vou editar.

por MatheusHenRyque Qua 07 Ago 2019, 21:32

Elcioschin, entendi toda a questão, mas por que a expressão "a_n+1"?

por **Elcioschin** Qua 07 Ago 2019, 21:48

A expressão do termo geral de uma PG é: a_n = a₁.q^n-1

Outro modo de escrever esta expressão é substituindo, nela, n por n+1:

a_n+1 = a₁.q^(n+1)-1 ---> a_n+1 = a₁.qⁿ

Na nossa questão ---> a₁= 1 e q = 2 ---> a_n+1 = 2ⁿ--->

Eu escolhi esta expressão, porque, na fórmula da soma dos termos da PG aparece 2ⁿ--->

Sn = 1.(2ⁿ- 1)/(2 - 1)