SOMA DA PG E SOMA INFINITA

Demonstração da soma dos termos da PG:

(a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ... a1q^n-1)

Perceba que o último termo será multiplicado por q^n-1 pois sempre multiplicamos o termo n pela razão elevado a n-1, uma vez que o primeiro termo é multiplicado por 1( 1-1 = 0)

Sn = a1 + a1q + a1q^2 + a1q^3 + ... + a1q^n-1(i)

multiplicando por q em ambos os lados:

Snq = a1q + a1q^2 + a1q^3 + a1q^4 + ... + a1q^n(ii)

Fazendo ii - i, temos:

Sn( q - 1) = a1(q^n - 1)
Sn = a1(q^n -1)/(q - 1) C.Q.D.

SOMA INFINITA DA PG:

Tendo demonstrado a fórmula da soma de termos da pg, torna-se simples demonstrar a soma infinita. Entretanto, é importante lembrar que tal fórmula é válida para pgs com -1 < q < 1.

Sn = a1(q^n -1)/(q - 1)

Fazendo o limite de n tendendo ao infinito, veremos que q^∞ será nulo, uma vez que o produto da razão fica cada vez menor conforme a multiplicamos. Logo,

S∞ = a1(0 - 1)/(q - 1)
S∞ = -a1/(q-1)
S∞ = a1/(1 - q) C.Q.D.