Questão sobre polinômios (ITA)

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Questão sobre polinômios (ITA)

Mensagem por fernandosant em Seg 20 Ago 2018, 09:41

Bom dia:)

Alguém pode me dizer se o caminho para a resolução da seguinte questão está correto?

(ITA) Um polinômio P(x) dividido por  dá resto  e dividido por dá resto . Qual o resto da divisão de P(x) por ?

Sabendo que o último divisor é igual a ( )() e o resto é no máximo de grau 3, montei um sistema com as quatro raízes complexas e tentei achar os coeficientes do resto. Tem algum outro modo ou só assim mesmo?
Obrigado:)
Spoiler:
R(x)=

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Re: Questão sobre polinômios (ITA)

Mensagem por math88 em Qua 22 Ago 2018, 15:11

Seja:
\\P(x) = Q1(x)*(x^2+x+1) + (-x+1),\\ P(x) = Q2(x)*(x^2-x+1) + (3x+5), \\P(x) = Q3(x)*(x^4+x^2+1) + R(x) = Q3(x)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1) + R(x)


Logo:
\\Q1(x)*(x^2+x+1) + (-x+1) = Q3(x)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1) + R(x)\\
R(x) = Q1(x)*(x^2+x+1) + (-x+1) - Q3(x)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1) \\
R(x) = (x^2+x+1)*(Q1(x)-Q3(x)*(x^2-x+1))  + (-x+1)


Portanto, o resto da divisão de R(x) por (x^2+x+1) é (-x+1), analogamente o resta da divisão de R(x) por (x^2-x+1) é (3x+5), como R(x) tem grau menor ou igual a 3 tem se que ele é da forma:


\\R(x) = (ax+b)*(x^2+x+1) + (-x+1)\\
R(x) = (a'x+b')*(x^2-x+1)+(3x+5)\\
\\
R(x) = ax^3+(a+b)x^2+(a+b-1)x+b+1
\\R(x) = a'x^3+(b'-a')x^2+(a'-b'+3)x+b'+5\\ \\


Comparando os coeficientes:

\\
a = a',a+b = b'-a',b+a-1 = a'-b'+3,b+1 = b'+5,\\
Logo: a=a'=-2, b=4, b'= 0 \\
\\


Substituindo:


\\R(x) = -2x^3+2x^2+x+5
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Re: Questão sobre polinômios (ITA)

Mensagem por fernandosant em Qui 06 Set 2018, 17:03

Obrigado, colega! Smile

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Re: Questão sobre polinômios (ITA)

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