Questão sobre polinômios (ITA)

por fernandosant Seg 20 Ago 2018, 09:41

Bom dia:)

Alguém pode me dizer se o caminho para a resolução da seguinte questão está correto?

(ITA) Um polinômio P(x) dividido por $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ dá resto $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ e dividido por $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ dá resto $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ . Qual o resto da divisão de P(x) por $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ ?

Sabendo que o último divisor é igual a ( $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ )( $Questão sobre polinômios (ITA) Gif$ ) e o resto é no máximo de grau 3, montei um sistema com as quatro raízes complexas e tentei achar os coeficientes do resto. Tem algum outro modo ou só assim mesmo?
Obrigado:)

Spoiler:

por math88 Qua 22 Ago 2018, 15:11

Seja:
\\P(x) = Q1(x)*(x^2+x+1) + (-x+1),\\ P(x) = Q2(x)*(x^2-x+1) + (3x+5), \\P(x) = Q3(x)*(x^4+x^2+1) + R(x) = Q3(x)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1) + R(x)

Logo:
\\Q1(x)*(x^2+x+1) + (-x+1) = Q3(x)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1) + R(x)\\
R(x) = Q1(x)*(x^2+x+1) + (-x+1) - Q3(x)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1) \\
R(x) = (x^2+x+1)*(Q1(x)-Q3(x)*(x^2-x+1)) + (-x+1)

Portanto, o resto da divisão de R(x) por (x^2+x+1) é (-x+1), analogamente o resta da divisão de R(x) por (x^2-x+1) é (3x+5), como R(x) tem grau menor ou igual a 3 tem se que ele é da forma:

\\R(x) = (ax+b)*(x^2+x+1) + (-x+1)\\
R(x) = (a'x+b')*(x^2-x+1)+(3x+5)\\
\\
R(x) = ax^3+(a+b)x^2+(a+b-1)x+b+1
\\R(x) = a'x^3+(b'-a')x^2+(a'-b'+3)x+b'+5\\ \\

Comparando os coeficientes:

\\
a = a',a+b = b'-a',b+a-1 = a'-b'+3,b+1 = b'+5,\\
Logo: a=a'=-2, b=4, b'= 0 \\
\\

Substituindo:

\\R(x) = -2x^3+2x^2+x+5