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(OBM 2017)
por Lucas RafaelOBM Seg 20 Ago 2018, 00:42
Demonstre que, para todo n inteiro positivo, existem inteiros positivos a e b, sem fatores primos em comum, de modo que a²+ 2017b² possui mais de n fatores primos distintos.
Alguém pode me ajudar? Talvez a identidade algébrica (a²+2017b²)(c²+2017d²)=(ac-2017bd)²+2017(ad+bc)² ajude.
Alguém pode me ajudar? Talvez a identidade algébrica (a²+2017b²)(c²+2017d²)=(ac-2017bd)²+2017(ad+bc)² ajude.
Lucas RafaelOBM- Iniciante
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Re: (OBM 2017)
por NikolsLife Qui 14 Out 2021, 12:48
Pense assim:
Deixe b = 1. Queremos mostrar que existe um
de modo que 
tenha pelo menos n fatores primos distintos. Ou,
Se existir n + 1 primos que têm um resto r tal que
, então pelo Teorema do Restante Chinês, é possível encontrar um tal que tem mais de n fatores primos distintos. Isso é equivalente a encontrar (x, k) tal que
seja um primo.
Suponha que não possamos encontrar isso, e o máximo p que podemos obter é M. Então
deve ter apenas fatores primos menores ou iguais a M, para cada x.
Deixe b = 1. Queremos mostrar que existe um
Se existir n + 1 primos que têm um resto r tal que
Suponha que não possamos encontrar isso, e o máximo p que podemos obter é M. Então
NikolsLife- Padawan
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