Série trigonométrica

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 00:08

Relembrando a primeira mensagem :

Determine M.

Minha tentativa:

\\M=cos^2\left ( \frac{\pi }{n} \right )+cos^2\left ( \frac{3\pi }{n} \right )+cos^2\left ( \frac{5\pi }{n} \right )+...+cos^2\left [ \frac{\pi (2n-1)}{n} \right ]\\\\2M=2cos^2\left ( \frac{\pi }{n} \right )+2cos^2\left ( \frac{3\pi }{n} \right )+...+2cos^2\left [ \frac{\pi (2n-1)}{n} \right ]\\\\\mathrm{Sabemos\ que\ }1+cos(2\varphi )=2cos^2(\varphi ),\ \mathrm{logo:}\\\\\therefore \ 2M=\underset{n}{\underbrace{1+1+...+1}}+cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi(2n-1) }{n} \right ]\\\\2M=n+cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi(2n-1) }{n} \right ]\\\\cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )=2cos\left ( \frac{4\pi }{n} \right )sen\left ( \frac{2\pi }{n} \right )\\\\cos\left ( \frac{14\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{10\pi }{n} \right )=2cos\left ( \frac{12\pi }{n} \right )sen\left ( \frac{2\pi }{n} \right )

Do padrão das fatorações, segue que:

\\2M=n+2sen\left ( \frac{2\pi }{n} \right ){\color{Red} \left [ cos\left ( \frac{4\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{12\pi }{n} \right )+... \right ]}

O meu problema está na parte em vermelho. Como achar um valor "fechado" para esse somatório?

Nota: eu sei que pelo fato de os ângulos estarem em P.A. há uma fórmula que calcula esse somatório facilmente, mas eu gostaria de saber se tem como resolver sem usar essa fórmula, visto que ela não é muito comum.

A)\ \frac{n}{12}\ B)\ \frac{3n}{7}\ C)\ \frac{n}{7}\ D)\ \frac{n}{2}\ E)\ \frac{n}{4}

Spoiler:

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 01:31

Certo. Quando eu tiver tempo eu vou aprender a mexer com essa relação direito. Lembro que uma vez você me passou um material, acho que era referente à OBMEP, da revista Eureka que falava sobre isso, você ainda tem ele?

por **fantecele** Sáb 28 Jul 2018, 02:19

É só você procurar no google sobre eureka obm, primeiro link mesmo que abrir já vai estar as eurekas se não me engano, procura pelas eurekas de números 27 e 33, lá fala sobre isso.