Série trigonométrica

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 00:08

Determine M.

Minha tentativa:

\\M=cos^2\left ( \frac{\pi }{n} \right )+cos^2\left ( \frac{3\pi }{n} \right )+cos^2\left ( \frac{5\pi }{n} \right )+...+cos^2\left [ \frac{\pi (2n-1)}{n} \right ]\\\\2M=2cos^2\left ( \frac{\pi }{n} \right )+2cos^2\left ( \frac{3\pi }{n} \right )+...+2cos^2\left [ \frac{\pi (2n-1)}{n} \right ]\\\\\mathrm{Sabemos\ que\ }1+cos(2\varphi )=2cos^2(\varphi ),\ \mathrm{logo:}\\\\\therefore \ 2M=\underset{n}{\underbrace{1+1+...+1}}+cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi(2n-1) }{n} \right ]\\\\2M=n+cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi(2n-1) }{n} \right ]\\\\cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )=2cos\left ( \frac{4\pi }{n} \right )sen\left ( \frac{2\pi }{n} \right )\\\\cos\left ( \frac{14\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{10\pi }{n} \right )=2cos\left ( \frac{12\pi }{n} \right )sen\left ( \frac{2\pi }{n} \right )

Do padrão das fatorações, segue que:

\\2M=n+2sen\left ( \frac{2\pi }{n} \right ){\color{Red} \left [ cos\left ( \frac{4\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{12\pi }{n} \right )+... \right ]}

O meu problema está na parte em vermelho. Como achar um valor "fechado" para esse somatório?

Nota: eu sei que pelo fato de os ângulos estarem em P.A. há uma fórmula que calcula esse somatório facilmente, mas eu gostaria de saber se tem como resolver sem usar essa fórmula, visto que ela não é muito comum.

A)\ \frac{n}{12}\ B)\ \frac{3n}{7}\ C)\ \frac{n}{7}\ D)\ \frac{n}{2}\ E)\ \frac{n}{4}

Spoiler:

por **fantecele** Sáb 28 Jul 2018, 00:30

Não lembro dessa fórmula da P.A, mas uma forma de resolver essa soma seria por complexos, basta fazer iA = isen(x) + isen(2x) + isen(3x) + ... isen(nx) e B = cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(nx), dai B + i.A = cis(x) + cis(2x) + cis(3x) + cis(nx) = cis(x) + (cis(x))^2 + (cis(x))^3 + ... + (cis(x))^n dai resolve a P.G e "pega" o que você precisa, não sei se dai sai a fórmula que você disse, mas veio isso aqui na minha cabeça.

por **Lucas Pedrosa.** Sáb 28 Jul 2018, 00:41

Giovana, esse "n" é inteiro?

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 00:53

Ihhh eu "apanho" bastante dessa relação que você mostrou, fantecele haha.

Quanto a fórmula que eu falei, tá vendo a quarta linha da minha resolução? Então, tem uma fórmula para calcular a soma:

cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi (2n-1)}{n} \right ]

Note que temos a seguinte P.A.:

\\\left \{ \frac{2\pi }{n},\frac{6\pi}{n},\frac{10\pi }{n},...,\frac{2\pi (2n-1)}{n} \right \}\\\\com\ a_1=\frac{2\pi }{n},\ a_n=\frac{2\pi (2n-1)}{n}\ e\ r=\frac{4\pi }{n}

Aí está a fórmula:

cos\left ( \frac{2\pi }{n} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{n} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi (2n-1)}{n} \right ]=\frac{sen\left ( \frac{nr}{2} \right )cos\left ( \frac{a_1+a_n}{2} \right )}{sen\left ( \frac{r}{2} \right )}

e aplicando a fórmula o resultado é imediato.

De qualquer forma, muito obrigada, fantecele. Hoje eu tô meio sem tempo para procurar onde está a demonstração da fórmula que eu falei, depois eu mando ela aqui.

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Lucas, o problema não informa Sad

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por **Lucas Pedrosa.** Sáb 28 Jul 2018, 00:58

Tinha pensado que n tá dividindo sempre múltiplos pares de ∏, e uma hora o seno ia zerar, outra hora os cossenos dentro dos colchetes iriam zerar. Viajei.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 00:59

Lucas, da relação, n é o número de termos da P.A., logo, ele é inteiro.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 01:02

"Tinha pensado que n tá dividindo sempre múltiplos pares de ∏, e uma hora o seno ia zerar, outra hora os cossenos dentro dos colchetes iriam zerar. Viajei."

Eu gostei da sua ideia. Acho que você não viajou não. O problema é que a princípio a gente só sabe que "n" é inteiro por causa da fórmula que eu mostrei. Se não a conhecêssemos acho que não poderíamos dizer que "n" é inteiro.

por **Lucas Pedrosa.** Sáb 28 Jul 2018, 01:09

Quando você igualou 2M = 1 + 1 + 1... n vezes, daria para afimar, né?

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 01:19

É verdade. Tratando os 1's como parcelas creio eu que não seja possível termos, por exemplo, meia parcela. Teria que ser um número inteiro de parcelas. Daí o somatório já zeraria tanto para n=1 (ímpar) quanto para n=2 (par). Acho que é o caminho.

por **fantecele** Sáb 28 Jul 2018, 01:26

Então, a demonstração para essa formula, se não engano, é aquilo ali que eu digitei hehe. Eu nunca decoro a fórmula porque a demonstração é bem simples, só lembrar do "cis" que sai de boa.