ACAFE-2016

por Lord Stark Seg 23 Jul 2018, 20:04

. (Acafe 2016) Uma pirâmide de base triangular regular reta e um cone reto estão inscritos
num cilindro reto, cujo raio da base é r e altura h. A relação entre a altura e o raio do cilindro,
para que a diferença entre o volume do cone e da pirâmide seja equivalente a

unidades, é:

Gabarito: letra A

por **Lucas Pedrosa.** Seg 23 Jul 2018, 21:57

Área da base da pirâmide triangular em função do lado do triângulo:
\\B_{t}=\frac{l_{t}^{2}\sqrt{3}}{4}

Volume da pirâmide:
\\V_{p}=\frac{1}{3}B_{t}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (\frac{l_{t}^{2}\sqrt{3}}{4})\cdot h

Altura do triângulo em função do raio do cilindro e do lado do triângulo:
\\r=\frac{2}{3}h_{t}\Rightarrow h_{t}=\frac{3r}{2}=\frac{l_{t}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow l_{t}=\frac{3r}{\sqrt{3}}

Por fim, volume da pirâmide em função do raio e da altura do cilindro:
\\V_{p}=\frac{1}{3}\cdot \frac{(\frac{3r}{\sqrt{3}})^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{r^{2}\cdot \sqrt{3}\cdot h}{4}

Volume do cone:
\\V_{c}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot h

No enunciado diz que:
V_{c}-V_{p}=\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{12}\\\\\frac{\pi r^{2}\cdot h}{3}-\frac{r^{2}\cdot \sqrt{3}\cdot h}{4}=\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{12}\Rightarrow r^{2}\cdot h=1

por Lord Stark Ter 24 Jul 2018, 20:08

muito obrigado LUCASXK7. Ótima explicação!!!!

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