Questão 35 - CPCON - UEPB

por rodriguinhogba Qui 28 Jun 2018, 13:02

Relembrando a primeira mensagem :

35ª QUESTÃO

Se denotarmos por P = A1, A2, A3, A4, A5, um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1 metro, onde Ai, para i = 1,2,...,5, são os vértices do pentágono e considerando que A denota o comprimento do apótema do pentágono P, então o valor de |\overline {A1A2}.\overline {A1A3}.\overline {A1A4}. \overline {A1A5}|.A , onde os segmentos \overline {A1Ai} , para i = 1, 2, ... , 5, são medidos em metros, é:

a) 10.tg 72º
b) 15.cos 36º
c) 5.tg 72º
d) 10.cos 36º
e) 5.cos 36º

Cheguei na resposta: 64.sen^4(36).cos^3(36)

E a resposta é a letra e). Como chegar a esta resposta. Pois calculei na calculadora o seno e o cosseno de 36° e realmente a resposta é aproximadamente 4,05 metros, tanto na minha resposta como la resposta da letra e)

por rodriguinhogba Ter 10 Jul 2018, 12:38

Elcioschin escreveu:Não vi nenhum erro.
Teste então, fazendo cos36º = (√5 + 1)/4

Já fiz, cheguei a resposta desejada, obrigado. Agora fico aqui me questionando como colocam uma questão dessa num concurso, onde demanda tempo para soluciná-la. Não ha como chegar a resposta sem deduzir cos36º = (√5 + 1)/4?

por **Giovana Martins** Ter 10 Jul 2018, 13:42

Eu achei a questão interessante daí eu pensei em tentar resolvê-la e cheguei na seguinte situação (teoricamente eu não cheguei na resposta.).

Questão 35 - CPCON - UEPB - Página 2 Codeco47

Alguém sabe provar a igualdade em vermelho sem atribuir cos(36)=(√5 + 1)/4?

Rodriguinhogba, o ângulo de 36° é um ângulo bastante famoso (aparece com frequência em questões de geometria e trigonometria). É quase tido como um ângulo notável, por isso sempre é bom saber de cor o seno e o cossenos desse ângulo. Em alguns casos é interessante saber deduzir esses valores (casos em que o exame tem questões discursivas.).

Nota: se alguém chegar na resposta eu detalho os cálculos e posto uma imagem.

por **Elcioschin** Ter 10 Jul 2018, 18:39

Um modo rápido é este:

(cos36º + 1)² = 5.cos²36º

cos²36º + 2.cos36º + 1 = 5.cos²36º

4.cos²36º - 2.cos36º - 1 = 0

∆ =(-2)² - 4.4.(-1) ---> ∆ = 20 ---> √∆ = 2.√5

cos36º = (2 ± 2.√5)/2.4 ---> cos36º = (1 ± √5)/4 ---> c

Como 36º está no 1º quadrante ---> cos36º > 0 ---> cos36º = (√5 + 1)/4

por **Giovana Martins** Ter 10 Jul 2018, 19:17

Élcio, quando vamos provar uma igualdade, ou eu mexo em um lado da equação ou eu mexo no outro lado, não é? Mexer nos dois lados não seria incorreto?

Nesse caso, para provar a igualdade, eu tomaria 5cos(36°) e iria mexendo nessa expressão até chegarmos em [1+cos(36°)]²/cos(36°) ou então faríamos o outro caminho, ou seja, partiríamos de [1+cos(36°)]²/cos(36°) e manipularíamos essa expressão até chegarmos em 5cos(36°), até porque se partirmos da ideia de que (cos36º + 1)² = 5.cos²36º naturalmente acharemos um valor que satisfaz (isso claro, se a igualdade de fato existir).

por **Elcioschin** Ter 10 Jul 2018, 19:33

Giovana

Concordo: eu apenas mostrei um modo rápido.
Certamente deve existir um modo de provar que o 1º membro é igual ao segundo.

por **Giovana Martins** Ter 10 Jul 2018, 19:37

Certo. Obrigada.

por rodriguinhogba Ter 10 Jul 2018, 23:43

Elcioschin escreveu:Giovana

Concordo: eu apenas mostrei um modo rápido.
Certamente deve existir um modo de provar que o 1º membro é igual ao segundo.

Ai esta o problema, entendi todos os cálculos da Giovana, o problema é exatamente manipular para chegar na resposta. Sem deduzir o cos 36°. Os ângulos notáveis que aprendi a decorar foram 30°, 45° e 60°. O ângulo de 36° e 72º é novo.

por rodriguinhogba Ter 10 Jul 2018, 23:46

Entendi o cálculo que a Giovana fez. Mas chegamos na mesma conclusão. Como chegar na resposta 5.cos 36° apenas manipulando a resposta encontrada?

por **Giovana Martins** Qua 11 Jul 2018, 00:01

Rodriguinho, pelas simetrias envolvidas no problema, creio que há alguma forma que não estamos enxergando de chegarmos em 5cos(36).

Quanto ao cos(36) há alguns livros peruanos voltados para o ensino médio que apresentam o valor de cos(36). Se eu não me engano o livro do Rufino (brasileiro e também voltado para o ensino médio) também tem. Enfim, é um ângulo interessante.

por rodriguinhogba Qua 11 Jul 2018, 00:04

Giovana Martins escreveu:Rodriguinho, pelas simetrias envolvidas no problema, creio que há alguma forma que não estamos enxergando de chegarmos em 5cos(36).

Quanto ao cos(36) há alguns livros peruanos voltados para o ensino médio que apresentam o valor de cos(36). Se eu não me engano o livro do Rufino (brasileiro e também voltado para o ensino médio) também tem. Enfim, é um ângulo interessante.

Já não basta tantas fórmulas para memorizar. Pelo jeito terei que decorá-lo também. Obrigado. Laughing