Questão 35 - CPCON - UEPB

35ª QUESTÃO

Se denotarmos por P = A1, A2, A3, A4, A5, um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1 metro, onde Ai, para i = 1,2,...,5, são os vértices do pentágono e considerando que A denota o comprimento do apótema do pentágono P, então o valor de |\overline {A1A2}.\overline {A1A3}.\overline {A1A4}. \overline {A1A5}|.A , onde os segmentos \overline {A1Ai} , para i = 1, 2, ... , 5, são medidos em metros, é:



a) 10.tg 72º
b) 15.cos 36º
c) 5.tg 72º
d) 10.cos 36º
e) 5.cos 36º




Cheguei na resposta: 64.sen^4(36).cos^3(36)

E a resposta é a letra e). Como chegar a esta resposta. Pois calculei na calculadora o seno e o cosseno de 36° e realmente a resposta é aproximadamente 4,05 metros, tanto na minha resposta como la resposta da letra e)

Para facilitar a escrita vou chamar os vértices de A, B, C, D, E:

AB = BC = CD = DE = EA = L --->
Seja M o ponto médio de AB
Seja O o centro do pentágono: OA = OB = OC = OD = OE = 1

AÔB = 72º ---> AÔM = 36º ---> A^BC = 108º

No triângulo isósceles OAB ---> AB = OA.sen36º + OB.sen36º ---> AB  =  2.sen36º ---> I

No triângulo isósceles BAC ---> BÂC = B^CA = 36º ---> AC = 2.AB.cos36º --->

AC = 2.(2.sen36º).cos36º ---> AC = 4.sen36º.cos36º ---> II

AD = AC ---> AD = 4.sen36º.cos36º

AE = AB ---> AE = 2.sen36º

|(A1A2).(A1A3).(A1A4).(A1A5)| = AB.AC.AD.AE = (2.sen36º).(4.sen36º.cos36º).(4.sen36º.cos36º).(2.sen36º)

|(A1A2).(A1A3).(A1A4).(A1A5)| = 64.sen⁴36º.cos²36º

Minha resposta só diferiu da sua pelo expoente do cos36º

No enunciado, o termo em módulo está multiplicado por A. É isto mesmo ou faltou algo?

Mestre, o A é o apótema do pentágono.

Distração minha na leitura.

O apótema é OM ---> OM = OA.cosAÔM ---> OA = 1.cos36º ---> OA = cos36º

|(A1A2).(A1A3).(A1A4).(A1A5)|.A = 64.sen⁴36º.cos³36º ---> que é a sua solução

|(A1A2).(A1A3).(A1A4).(A1A5)|.A = 64.(1 - cos²36º).cos³36º

Tente usar: cos36º = (√5 + 1)/4 para chegar num valor final 5.cos36º = 5.(√5 + 1)/4

Elcioschin escreveu:Distração minha na leitura.

O apótema é OM ---> OM = OA.cosAÔM ---> OA = 1.cos36º ---> OA = cos36º

|(A1A2).(A1A3).(A1A4).(A1A5)|.A = 64.sen36º.cos³36º ---> que é a sua solução

|(A1A2).(A1A3).(A1A4).(A1A5)|.A = 64.(1 - cos²36º).cos³36º

Tente usar: cos36º = (√5 + 1)/4 para chegar num valor final 5.cos36º = 5.(√5 + 1)/4

A minha solução foi 64.sen^4(36º).cos^3(36º), acho que faltou colocar a potencia 4 no seno de 36º, outra resposta que encontrei foi 8.cos (36º).[1 + cos (36º) - cos^2 (36º) - cos^3 (36º)]. A questão não oferece cos 36º = (\sqrt{5} + 1)/4..

O problema é chegar diretamente na resposta 5.cos(36º) utilizando as transformações trigonométricas, creio eu.

Sim, eu esqueci o expoente 4; já editei.
Você deve ter feito contas erradas:

x = 64.sen⁴36º.cos³36º ---> Fazendo por partes:

sen⁴36º = (sen²36º)² = (1 - cos²36º)² = 1 - 2.cos²36º + cos⁴36º

x = (1 - 2.cos²36º + cos⁴36º).cos³36º

x = cos³36º - 2.cos⁵36º + cos⁷36º

Faça agora cos36º = (√5 + 1)/4, desenvolva cada termo e simplifique, até chegar em 5.(√5 + 1)/4 = 5.cos36º:

Calcule primeiro cos²36º
Depois calcule cos³36 = cos²36º.cos36º
Depois calcule cos⁵36º = (cos²36º)².cos36º
Depois calcule cos⁷36º = cos⁵36º.cos²36º

Elcioschin escreveu:Sim, eu esqueci o expoente 4; já editei.
Você deve ter feito contas erradas:

x = 64.sen⁴36º.cos³36º ---> Fazendo por partes:

sen⁴36º = (sen²36º)² = (1 - cos²36º)² = 1 - 2.cos²36º + cos⁴36º

x = (1 - 2.cos²36º + cos⁴36º).cos³36º

x = cos³36º - 2.cos⁵36º + cos⁷36º

Faça agora cos36º = (√5 + 1)/4, desenvolva cada termo e simplifique, até chegar em 5.(√5 + 1)/4 = 5.cos36º:

Calcule primeiro cos²36º
Depois calcule cos³36 = cos²36º.cos36º
Depois calcule cos⁵36º = (cos²36º)².cos36º
Depois calcule cos⁷36º = cos⁵36º.cos²36º

Mas o problema é de onde você tirou o cos36º = (√5 + 1)/4?

Isto é demonstrado no cálculo do lado de um decágono regular.:

L₁₀ = R.(√5 - 1)/2 = 2.R.cos72º

cos72º = (√5 - 1)/4 ----> cos36º = (√5 + 1)/4

Pesquise a demonstarção em Geometria Plana - Relações Métricas nos Polígonos Regulares

rodriguinhogba escreveu:

Elcioschin escreveu:Sim, eu esqueci o expoente 4; já editei.
Você deve ter feito contas erradas:

x = 64.sen⁴36º.cos³36º ---> Fazendo por partes:

sen⁴36º = (sen²36º)² = (1 - cos²36º)² = 1 - 2.cos²36º + cos⁴36º

x = (1 - 2.cos²36º + cos⁴36º).cos³36º

x = cos³36º - 2.cos⁵36º + cos⁷36º

Faça agora cos36º = (√5 + 1)/4, desenvolva cada termo e simplifique, até chegar em 5.(√5 + 1)/4 = 5.cos36º:

Calcule primeiro cos²36º
Depois calcule cos³36 = cos²36º.cos36º
Depois calcule cos⁵36º = (cos²36º)².cos36º
Depois calcule cos⁷36º = cos⁵36º.cos²36º

Mas o problema é de onde você tirou o cos36º = (√5 + 1)/4?

 De onde tirei 8.[cos (36º)+cos^2(36º)-cos^3(36º)-cos^4(36º)]

Se observarmos o segmento \overline{A1G} = \overline{A2G}= sen (36^o) então \overline{A1A2} = \overline{A1A5} = 2.sen (36^o)

A = cos (36^o)


(\overline{A1A3})^2 = (\overline{A1G})^2 + (A+1)^2

(\overline{A1A3})^2 = sen^2(36^o) + cos^2(36^o)+2.cos (36^o) + 1

(\overline{A1A3})^2 = 1 + 2.cos (36^o) + 1

(\overline{A1A3})^2 = 2 + 2.cos (36^o)

\overline{A1A3} = \overline{A1A4} = \sqrt{2 + 2.cos (36^o)}

|\overline{A1A2}.\overline{A1A3}.\overline{A1A4}.\overline{A1A5}|.A

|2.sen (36^o).\sqrt{2 + 2.cos (36^o)}.\sqrt{2 + 2.cos (36^o)}.2.sen (36^o)|.cos (36^o)

|4.sen^2 (36^o).|2 + 2.cos (36^o)||.cos (36^o)

Como o cos (x) está definido -1 < cos (x)< 1, então |{2 + 2.cos (36^o)}| será sempre positivo, então podemos eliminar o módulo.

sen^2 (36^o) = 1- cos^2(36^o) 

|4.(1- cos^2(36^o).(2 + 2.cos (36^o))|.cos (36^o)

|(4 - 4cos^2(36^o)).(2 + 2.cos (36^o))|.cos (36^o)

|8 + 8.cos (36^o) -8.cos^2(36^o) -8.cos^3(36^o)|.cos (36^o)

Como o cos (x) está definido -1 < cos (x)< 1, então |8 + 8.cos (36^o) -8.cos^2(36^o) -8.cos^3(36^o)| será sempre positivo, então podemos eliminar o módulo.

(8 + 8.cos (36^o) -8.cos^2(36^o) -8.cos^3(36^o)).cos (36^o)

(1 + cos (36^o) -cos^2(36^o) -cos^3(36^o)).8.cos (36^o)

8.(cos (36^o) + cos^2 (36^o) -cos^3(36^o) -cos^4(36^o))

Se eu estiver errado?

Não vi nenhum erro.
Teste então, fazendo cos36º = (√5 + 1)/4