Trigonometria

[Unirio] Um engenheiro está construindo um obelisco de forma piramidal regular, onde cada aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral e a base do obelisco é um ângulo θ tal que: 

a) 60°< θ < 90°
b) 45°< θ < 60°
c) 30°< θ < 45°
d) 15°< θ < 30°
e) 0°< θ < 15°

Altura de cada face: H² = L² - (a/2)² ---> H² = 6² - (4/2)² ---> H² = 32

Altura do obelisco: h² = H² - (a/2)² ---> h² = 32 - 4 ---> h = 2.√7

Temos um triângulo retângulo com hipotenusa 4.√2 e catetos 2 e 2.√7. Seja θ o ângulo entre a hipotenusa e o cateto 2:

cosθ = 2/(4.√2) ---> cosθ = 1/2.√2 ---> cosθ = √2/4 ---> cosθ ~= 0,35

cos60º = 0,50 ---> θ > 60º ---> 60º < θ < 90º

Você poderia me mandar uma representação geométrica dessa pirâmide?Não estou entendendo.

Estou pelo celular, então vou dar as dicas para você fazer o desenho.

Desenhe uma pirâmide de base quadrada ABCD de lado a = 4, aresta lateral L = 6 e vértice V

Seja E o ponto médio do lado BC e O o centro da base: BE = a/2 ---> BE = 4/2 ---> BE = 2
Trace a altura h = OV , trace OE  = metade do lado da base e trace EV = H = altura da face BCV

VÔE = 90º ---> ∆ VOE é retângulo ---> VÊO = θ = ângulo procurado (entre a face BCV e a base ABCD):

VEB = 90º ---> ∆ VEB é retângulo --->

cateto menor: OE = a/2 ---> OE = 2
hipotenusa = EV ---> EV² = BE² - OE² ---> H² = 6² - (2)² ---> H² = 32 ---> H = 4.√2

No ∆ VOE

OV² = VE² - OE² ---> h² = 32 - 2² ---> h² = 28 ---> h = 4.√7

cos(VÊO) = OE/EV ----> cosθ = 2/H ---> cosθ = 2/4.√2 ---> cosθ = √2/4 ---> cosθ ~= 0,35

cos60º = 0,50 ---> θ > 60º ---> 60º < θ < 90º

Certo, nesse caso então,o ângulo seria de 70,52°?

x = arccos(√2/4) ---> x ~= 69,3º ---> calculadora

Elcioschin escreveu:Altura de cada face: H² = L² - (a/2)² ---> H² = 6² - (4/2)² ---> H² = 32

Altura do obelisco: h² = H² - (a/2)² ---> h² = 32 - 4 ---> h = 2.√7

Temos um triângulo retângulo com hipotenusa 4.√2 e catetos 2 e 2.√7. Seja θ o ângulo entre a hipotenusa e o cateto 2:

cosθ = 2/(4.√2) ---> cosθ = 1/2.√2 ---> cosθ = √2/4 ---> cosθ ~= 0,35

cos60º = 0,50 ---> θ > 60º ---> 60º < θ < 90º

Ao invés de (a/2) porquê não é [(a\/2)/2], já que é uma reta do centro do quadrado á uma de suas pontas?

Porque o triângulo retângulo da inclinação da face é constituído por:

1) cateto OE sendo o centro da base e E o ponto médio do lado BC: OE = 2
2) cateto OV = h = 2.√7
3) hipotenusa EV = H = 4.√2

O ângulo procurado é θ = VÊO entre o cateto OE = 2 e a hipotenusa OV = 4.√2

Muito obrigado, consegui agora!