Semelhança de Triângulos

por carolsilvac Ter 29 maio 2018, 20:24

(CEFET/MG) Na figura abaixo, temos um
retˆangulo ABCD com medidas AB = 10m e BC = 5m.
Suponha que AE = AF = 2m, que os segmentos EC e
F G sejam paralelos e que a circunferência tangencie os
segmentos EC e F G.
O diâmetro da circunferˆencia, em metros, mede
(A) 2
(B) 5/2
(C) 26√109/109
(D) 13√109/50
(E) 27√109/110
gabarito: C
não estou conseguindo encontrar a maneira de resolver por semelhança.

por carolsilvac Ter 29 maio 2018, 20:45

https://i.servimg.com/u/f62/19/75/54/13/c1870c13.jpg

por matheus__borges Ter 29 maio 2018, 22:04

Os primeiros dois Ângulos em azul são colocados aleatoriamente, os outros são consequências das paralelas...

\overline{EC}^{2}=\overline{DE}^{2}+\overline{DC}^{2}\\
\therefore \overline{EC}=\sqrt{109}\\
\triangle CED \sim \triangle HIC\\
\frac{3}{\overline{HI}}=\frac{8}{10}\rightarrow \overline{HI}=2,4\rightarrow \overline{IF}=2,6\\
\triangle EDC \sim \triangle FIJ\\
\frac{D}{10}=\frac{2,6}{\sqrt{109}}\rightarrow 2r=D=26.\frac{\sqrt{109}}{109}