Classificação de quádricas
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Classificação de quádricas
por psherman43666car Dom 20 maio 2018, 14:14
Classifique, em função de λ ∈ R, a quádrica
(λ3-λ)x2 + λ2y2 + (λ+1)z2 = λ2+1
(λ3-λ)x2 + λ2y2 + (λ+1)z2 = λ2+1
psherman43666car- Iniciante
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Re: Classificação de quádricas
por Willian Honorio Dom 27 maio 2018, 18:45
Transpondo para a forma canônica:
.x^{2}+\lambda&space;^{2}.y^{2}+(\lambda&space;+1)z^{2}=\lambda&space;^{2}+1\\\\+\frac{x^{2}}{\left&space;(\frac{\lambda&space;^{2}+1}{\lambda&space;^{^{3}}-\lambda&space;}&space;\right&space;)}+\frac{y^{2}}{\left&space;(\frac{\lambda&space;^{2}+1}{\lambda&space;^{^{2}}&space;}&space;\right&space;)}+\frac{z^{2}}{\left&space;(\frac{\lambda&space;^{2}+1}{\lambda&space;+1&space;}&space;\right&space;)}=1 "(\lambda ^{3}-\lambda ).x^{2}+\lambda ^{2}.y^{2}+(\lambda +1)z^{2}=\lambda ^{2}+1\\\\+\frac{x^{2}}{\left (\frac{\lambda ^{2}+1}{\lambda ^{^{3}}-\lambda } \right )}+\frac{y^{2}}{\left (\frac{\lambda ^{2}+1}{\lambda ^{^{2}} } \right )}+\frac{z^{2}}{\left (\frac{\lambda ^{2}+1}{\lambda +1 } \right )}=1")
Repare que o coeficiente de y² é sempre positivo para qualquer ''Lambda'' real e diferente de zero. A classificação da quádrica depende dos coeficientes em x² e z². Separemos em 4 casos:
1.º) coeficientes de x² e z² são positivos: elipsóide;
2.º) coeficiente de x² é positivo e z² é negativo: hiperbolóide de uma folha em torno do eixo Oz;
3.º)z² é positivo e x² é negativo: hiperbolóide de uma folha em torno do eixo Ox;
4.º) x² e z² são negativos: hiperbolóide de duas folhas em torno do eixo Oy.
Faça o estudo dos sinais.
Repare que o coeficiente de y² é sempre positivo para qualquer ''Lambda'' real e diferente de zero. A classificação da quádrica depende dos coeficientes em x² e z². Separemos em 4 casos:
1.º) coeficientes de x² e z² são positivos: elipsóide;
2.º) coeficiente de x² é positivo e z² é negativo: hiperbolóide de uma folha em torno do eixo Oz;
3.º)z² é positivo e x² é negativo: hiperbolóide de uma folha em torno do eixo Ox;
4.º) x² e z² são negativos: hiperbolóide de duas folhas em torno do eixo Oy.
Faça o estudo dos sinais.
Willian Honorio- Matador
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