Justifique as afirmações abaixo

por **Adam Zunoeta** Ter 14 Jun 2011, 20:51

Justifique as afirmações abaixo, relativas à equação:
x³+x+1=0

a) Não tem raiz racional

b) Tem raiz real entre -1 e 0

c) Tem uma única raiz real

a) Pelo teorema das raízes racionais temos como raízes inteiras (1,-1), testando na equação vemos que nenhuma satisfaz, logo não admite raiz racional.

b)
p(0)=1
p(-1)=-1
Pelo teorema de Bolzano vem,
p(0)*p(-1)<0 então a equação admite um número ímpar de raízes no intervalo ]-1,0[
c)
?

Gabarito da letra "c"
Como ∆=-(3a²+4)<0, a equação admite uma única raiz real.

por **Adam Zunoeta** Qua 15 Jun 2011, 20:12

Resposta do Artur

Justifique as afirmações abaixo, relativas à equação:
x³+x+1=0

c) Tem uma única raiz real

Seja "a" a raiz real do polinômio,então podemos escrever:

x³+x+1=(x-a)*(bx²+cx+d)

x³+x+1=bx³+cx²+dx-abx²-acx-ad

x³+x+1=bx³+x²(c-ab)+x(d-ac)-ad

Pela igualdade vem,

b=1

c-ab=0 --> c=a

d-ac=1 ---> d=1+ac --->d=1+a²

-ad=1

x³+x+1=(x-a)*(x²+ax+1+a²)

x²+ax+1+a²=0

∆=a²-4*1*(1+a²)=a²-4-4a²=-(3a²+4)

∆=-(3a²+4)

Ou seja, ∆<0

Então x³+x+1=0, possui apenas uma raiz real.

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