TEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS

DETERMINE O VALOR DE N, DE MODO QUE 

N=3*20^* TENHA 56 DIVISORES 

GAB 2.400

3*20^1 = 60
3*20^2 = 1200
3*20^3 = 24000

60 = 2*2*3*5 = 2^2 * 3^1 * 5^1

Todos os divisores de 60 serão da forma 2^x * 3^y * 5^z, em que:

x pode ser 0, 1 ou 2
y pode ser 0 ou 1
z pode ser 0 ou 1

As possibilidades são então: 3*2*2 = 12

Como sempre estamos multiplicando por 20, estamos sempre multiplicando por (2^2 * 5).
Assim 60*20^n = (2^2 * 3 * 5) * 2^(2n) * 5^n
60*20^n = 2^(2+2n) * 3 * 5^(1+n)

Assim, teremos (2 + 2n + 1) * 2 * (1 + n + 1) possibilidades para 60*20^n.

Queremos que (2 + 2n + 1) * 2 * (1 + n + 1) = 56

(3 + 2n) * 2 * (2+n) = 56
(3 + 2n) * (2+n) = 28
6 + 7n + 2n² = 28
Resolvendo, temos n = 2

Portanto: N = 60*20^2 = 60*400 = 24000

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