O resto da divisão do polinômio ..

PUC
O resto da divisão do polinômio P(x)=(x-1)*(x-2)...(x-n)+b pelo polinômio q(x)=x é:

a) b

b)

c) n!+b

d)

e)

Gabarito:
Letra "e"

Tentei assim......

Seu fatorial está errado: x! = x*(x - 1)*(x - 1)*........*(x - n)*......*3*2*1

P(x) = (x - 1)*(x - 2)*...................*(x - n) + b

Desenvolvendo, considerando A, B, ..... K coeficientes, teremos?

P(x) = x^n + A*x^(n-1) + B*x^(n-2) + ...... + K*x + (-1)*(-2)*(-3)*.....*(-n) + b ---->

P(x) = x^n + A*x^(n-1) + B*x^(n-2) + ........+ K*x + [(-1)^n]*n! + b

Se n for par o sinal do fatorial é positivo e se n for ímpar é negativo!

Aplicando Briott-Ruffini para a raiz x = 0

__|1 ......... A ............ B ........... C.......... ................. K ........ [(-1)^n]*n! + b
.0.|1 ......... A .............B ............C ........................... K ........ [(-1)^n]*n! + b

Resto = [(-1)^n]*n! + b

Obrigado Elcioschin

Elcioschin escreveu:Seu fatorial está errado: x! = x*(x - 1)*(x - 1)*........*(x - n)*......*3*2*1

P(x) = (x - 1)*(x - 2)*...................*(x - n) + b

Desenvolvendo, considerando A, B, ..... K coeficientes, teremos?

P(x) = x^n + A*x^(n-1) + B*x^(n-2) + ...... + K*x + (-1)*(-2)*(-3)*.....*(-n) + b ---->

P(x) =  x^n + A*x^(n-1) + B*x^(n-2) + ........+ K*x + [(-1)^n]*n! + b

Mestre, não entendi bem essa parte que destaquei em vermelho. Poderia me explicar o que fez e por que ela ficou assim?

Note que a última parcela da multiplicação de (x - 1).(x - 2). ... (x - n) é o termo independente de x:

(- 1).(-2).(-3) ....... (- n)

Veja o exemplo, para n = 2 ---> (x - 1).(x - 2) = x² - (1 + 2).x + (-1).(-2) 

Puxa, é verdade. Esclareceu as ideias.
Muito obrigado, Elcio!