UFRGS (2018)
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UFRGS (2018)
por pmanfredo Sex 09 Mar 2018, 22:35
A partir de um hexágono regular de lado unitário, constroem-se semicírculos de diâmetros também unitários, conforme indicados na figura. Calcule a medida da área sombreada
pmanfredo- Iniciante
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Re: UFRGS (2018)
por Diego A Sáb 10 Mar 2018, 09:38
Estou TENTANDO resolver por geo plana, com alguns pontos básicos. Se precisava de uma resolução mais elaborada espero que alguém possa lhe fornecer...
Ponto O - centro da circunferência
a distância de AO = 2R
Sendo o ponto (P) de intersecção entre as circunferências
Distância do ponto médio de AF (M) ao ponto P vale R
MP = R
AM = R
AP = R -----> Equilátero
Isto é,
a corda entre 2 intersecções (P) vale R
o mesmo vale para as cordas AP, FP, EP, DP, CP, BP
Se estiver tudo certo e compreenspivel, só basta fazer a relação com as áreas!
Ponto O - centro da circunferência
a distância de AO = 2R
Sendo o ponto (P) de intersecção entre as circunferências
Distância do ponto médio de AF (M) ao ponto P vale R
MP = R
AM = R
AP = R -----> Equilátero
Isto é,
a corda entre 2 intersecções (P) vale R
o mesmo vale para as cordas AP, FP, EP, DP, CP, BP
Se estiver tudo certo e compreenspivel, só basta fazer a relação com as áreas!
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Re: UFRGS (2018)
por petras Sáb 10 Mar 2018, 10:04
A área procurada será a Ah - 3Ac + 6A(interseção)
r = 1/2
Ah = 6l²√3/4 = 3√3/2
Ac = π r² = π/4 como são 3 teremos: 3 π/4
Ai = 2(Área do Setor - Área do triângulo equilátero) = 2(π r²/6 - l²√3/4) = 2(π/24 - √3/16) = π /12 - √3/8
Como são 6 teremos 6(π /12 - √3/ 8 ) = π /2 - 3√3/4
Portanto: 3√3/2 - 3 π/4 + π /2 - 3√3/4 =(6√3 - 3 π + 2π - 3√3)/4 = (3√3 -π)/4
r = 1/2
Ah = 6l²√3/4 = 3√3/2
Ac = π r² = π/4 como são 3 teremos: 3 π/4
Ai = 2(Área do Setor - Área do triângulo equilátero) = 2(π r²/6 - l²√3/4) = 2(π/24 - √3/16) = π /12 - √3/8
Como são 6 teremos 6(π /12 - √3/ 8 ) = π /2 - 3√3/4
Portanto: 3√3/2 - 3 π/4 + π /2 - 3√3/4 =(6√3 - 3 π + 2π - 3√3)/4 = (3√3 -π)/4
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