Mostre que o triângulo é equilatéro.

Na figura seguinte, sabe-se que ABC é equilátero e que AE = BD = CF, mostre que EFD é também equilátero.

Seja y = AE = BD = CF

Por simetria, seja x = AF = BE = CD

Idem: θ = A^CF = BÂE = C^BD ---> CÂF = B^CD = A^BE = 60º - θ

AÊB + BÂE + A^BE = 180º ---> AÊB + (60º - θ) + θ = 180º ---> AÊB = 120º

DÊF = 180º - AÊB ---> DÊF = 60º ---> De modo similar E^DF = D^FE = 60º ---> ∆ DEF é equilátero

Como pode garantir isto? É possível demonstrar?
Idem: θ = A^CF = BÂE = C^BD

Um professor universitário me falou que não posso tomar isto como verdade, por que não está explícito na questão do problema portanto é necessário mostrar a validade disto.

Forken

Eu não demonstrei algebricamente/geometricamente. Apenas usei simetria: se os três comprimentos AE, BD e CF são iguais, os ângulos entre eles e os lados do triângulo ABC também são iguais.

Os três comprimentos AE, BD e CF serem iguais, garante que os ângulos entre eles também sejam?

Eu considero que sim.
Além disso, garante que AF = BE = CD e DE = EF = FD

Mas isto (AF = BE = CD e DE = EF = FD) pode não ser verdade se os ângulos entre os segmentos não forem idênticos.

Note que eu usei simetria e provei que DEF é equilátero.
Assim, é impossível que não seja verdade que os ângulos são idênticos.

Olá.
Essa questão aparece numa edição do livro "Geometria Euclidiana Plana" do João Lucas Marques Barbosa e estou tentando resolvê-la há alguns dias.

Nesse ponto do livro o autor ainda não chegou no resultado de que a soma dos ang. internos de um triangulo é 180°. Ele só discutiu casos de congruência e algumas consequências do Teorema do Ângulo Externo. Então, deve ser possível deduzir rigorosamente que DEF é equilátero usando apenas isso.

Meu professor sugeriu uma prova por redução ao absurdo, mas só consegui demonstrar parcialmente, para o caso que DEF é isósceles. Não consigo chegar a nenhum resultado expressivo quando suponho que DEF é escaleno.

Alguma sugestão ou ideia alternativa?