Qual o melhor projeto?

Baseado nos dois projetos abaixo responda:

	Projeto A	Projeto B
Investimento Inicial	$ 1.000,00	$ 1.500,00
Benefícios Anuais	$ 430,00	$ 600,00
Vida Útil (anos)	3	3
Valor Residual	$ 150,00	$ 300,00

Benefícios ao fim de cada, sendo o primeiro obtido 1 ano após o investimento inicial.
Valor Residual é obtido ao final do projeto.

Considerando que exista no mercado uma aplicação que renda 10% a.m., qual dos dois projetos é o melhor?

Resposta:

No problema anterior eu estava falando, obviamente, em juros. Este se problema trata de investimento. São coisas distintas. Gostaria de ver sua solução.

Boa noite!

Montando a equação que nos entrega o valor presente liquido (VPL) de cada um dos projetos, considerando-se entradas como positivas e saídas como negativas no fluxo de caixa.

Projeto A:
VPL_A( i ) = -1\,000 + 430 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -3 } }{ i } \right] + \dfrac{ 150 }{ \left( 1 + i \right) ^ { 3 } }

Projeto B:
VPL_B( i ) = -1\,500 + 600 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -3 } }{ i } \right] + \dfrac{ 300 }{ \left( 1 + i \right) ^ { 3 } }

Calculando-se as VPLs destes projetos para a taxa conhecida (geralmente a chamamos de TMA - taxa mínima de atratividade).
Assim, substituindo-se a taxa no termo i teremos:
VPL_A( 10\% ) \approx 182,04
VPL_B( 10\% ) \approx 217,51

Isso significa que o projeto B, sob uma taxa de 10%, vale 217,51 na data zero contra 182,04 do projeto A, ou seja, vale mais, é melhor!

Agora iremos calcular a taxa dos projetos. Calculo a do projeto A, somente, pois a do projeto B será o mesmo processo, então, só deixarei a 'equação' armada para aqueles que quiserem calcular, mas deixarei a resposta.

Projeto A:
Para obter a taxa de rentabilidade do projeto precisamos descobrir qual o valor de i que torna o projeto com VPL = 0. Assim saberemos quanto o projeto 'rende'.
Irei utilizar diretamente a função VPL pelo método iterativo das secantes. Para primeiro valor (estimativa), irei utilizar um valor maior do que o abaixo:

i = \dfrac{ 2 ( 150 + 3 \cdot 430 - 1\,000 ) }{ 3 ( 3 + 1 ) 430 + 2 \cdot 3 \cdot 150 } \approx 14,5\%

Então, i = 15% e i = 16% serão minhas estimativas iniciais (o método das secantes exige).
Montando a tabela:

n	i	f(i)
-1	15,000000%	80,414235
0	16,000000%	61,831153
1	19,327282%	3,697912
2	19,538934%	0,181474
3	19,549856%	0,000563
4	19,549890%	0,000000

Chegamos em uma taxa de 19,55% aproximadamente para o projeto A.
Fazendo a mesma operação para o B obteremos 17,50%
Se fôssemos analisar pela taxa de juros veja que teríamos escolhido o projeto A.
Como corrigir isso, então? Como fazer para podermos comparar duas taxas de juros e poder saber qual o melhor projeto?
Temos que primeiramente verificar que os dois projetos não tem os mesmos investimentos iniciais.
Mas, como 'conseguimos' investir 1500 no projeto B, podemos investir no projeto A da seguinte forma: 1000 no projeto A + 500 sob uma taxa de juros de 10% a.m. (certo?)
Quanto estes 500 retornam nos 3 meses? Basta fazer a conta:
PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right]
500 = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 10\% \right) ^ { -3 } }{ 10\% } \right]
PMT \approx 201,06

Então, vamos analisar o projeto A da seguinte forma:
1000+500 de investimento inicial
430+201,06 de benefícios anuais
150 de valor residual.

Daí calculando a rentabilidade para este novo projeto obteremos 16,52%, aproximadamente. Então, como essa taxa do 'projeto A' (16,52%) é menor do que a do projeto B (17,50%), o melhor projeto CONTINUA sendo o B, e ambas as análises, do VPL e da rentabilidade (TIR - taxa interna de retorno) nos entregam a mesma resposta.

Este é um dos motivos pelos quais não prefiro utilizar a análise 'nua e crua' do rendimento através da taxa de juros.

Espero ter contribuído!