Números primos

Demonstrar que existem infinitos números primos da forma 4m + 3 , onde m pertencentes a Z.

Suponha por absurdo que já números primos no formato 4n + 3 são finitos.

Pegue então todos os finitos primos na forma 4n + 3.

3, p2, p3, p4, ..., pn.

Onde 3 < p2 < p3 < ... < pn

Agora pegue o número.

k = 4 . (p2 . p3 . p4 * ... * pn) + 3

Esse número é claramente maior que todos os números primos da forma 4n + 3, e note que que nenhum primo da forma 4n + 3 pode dividi-lo. Pois, para um pi com 2 ≤ i ≤ n, ele dividirá um dos primos que está sendo multiplicado por 4, (p1 . p2 * ... * pn), mas não dividirá o 3, então se não divide todas as parcelas, não pode dividir o número. E 3 também não divide esse número, pois ele vai dividir uma parcela e não a outra.

Então k não tem nenhum fator primo da forma 4k + 3 com k inteiro. Logo, ele só pode ter fatores primos na forma 4k + 1. Mas o produto de fatores na forma 4k + 1 gera um número também da forma 4k + 1.

(4a1 + 1)(4a2 + 1) * ... * (4an + 1) Ξ (0 + 1)(0 + 1) * ... * (0 + 1) Ξ 1 . 1 . 1 * ... * 1 Ξ 1 (mod 4)

Mas k é da forma 4m + 3, portanto, absurdo !

Logo, existem infinitos números primos na forma 4m + 3 como queríamos provar.

Oi boa tarde Superaks

Vou ter que estudar mais um pouco, p entender melhor sua explanação. Muito obrigada . Valeu!!!!!

Me diz o que não ficou muito claro que e tentarei detalhar.

Mas resumindo, eu assumi a hipótese de que os primos na forma 4m + 3 são finitos e com isso eu peguei um número na forma 4k + 3 maior que todos os outros primos da forma 4m + 3, logo, ele tem que ser composto. Mas esse número além de composto não poderia ter nenhum divisor primo na forma 4m + 3 (pela construção dele), então ele só poderia ter divisores primos na forma 4t + 1, 4t + 2 ou 4t, porém, números na forma 4t + 2 é divisível por 2 e 4m + 3 é claramente ímpar, então 2 não divide. Na forma 4t seria múltiplo de 4, logo, não seria primo, então só sobra 4t + 1. Mas o produto de primos na forma 4t + 1 gera um número na forma 4k + 1 também. Só que o nosso número é da forma 4m + 3, e isso gera uma contradição.

oi
ficou claro, eu é que tenho q estudar um pouco mais sobre isso. Muuuuito obrigada pela atenção