Números Primos

Mostre que existem infinitamente primos da forma 3n + 2.

Por acaso você tem prova de álgebra quinta? 

Eu tentaria dessa forma:

Dado um primo, ou ele é da forma 3n + 1 ou 3n + 2.

(I) Perceba que o conjunto S = {3n + 1| n ∈ ℤ} é fechado para a multiplicação.
Veja:
(3p + 1)(3q + 1) = 9pq + 3p + 3q + 1 = 3(3pq + p + q + 1) = 3k + 1

Com isso, vamos supor que exista um número finito de primos da forma 3n + 2, sendo eles p1=2,p2,p3,...,pn.

Considere o número X = 3(p2)(p3)...(pn) + 2.
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética temos que X possui pelo menos um divisor primo, então:

Se 2|X, então 2|(p2)(p3)...(pn), o que é um absurdo.
Para algum pi, com i = 2,3,...,n, se pi|X, então pi|2, o que é um absurdo.
Daqui tiramos que o divisor de X será da forma 3n + 1, porém de (I) tiramos que X deveria ser da forma 3n + 1, o que leva a uma contradição.

Portanto existe uma infinidade de primos da forma 3n + 2.

Veja

Se n > 0 for par ---> 3n + 2 é par, logo nunca será primo.
Logo devemos ter n ímpar (com exceção de n = 0)

n .... 3.n + 2
0 ........ 2
1 ........ 5
3 ....... 11
5 ....... 17
7 ....... 23
9 ....... 29
11 ..... 35 ---> não é primo: 35 = 5.7
13 ..... 41
15 ..... 47
17 ..... 53
19 ..... 59
21 ..... 65 ---> não é primo: 65 = 5.13
23 ..... 71
25 ..... 77 ---> não é primo: 77 = 7.11
27 ..... 83
29 ..... 89
31 ..... 95 ---> não é primo: 95 = 5.19
.......................................................

Conclusão: para n terminado em 1 (11, 21, 31, 41 .....) --->

3.n termina em 3 ---> 3.n + 2 termina em 5, logo, é sempre e múltiplo de 5

Logo, existe uma infinidade de primos 3.n + 2