Substituição trigonométrica

por Gabriel August0 Qua 03 Jan 2018, 03:37

Boa noite !
Não possuo o gabarito, agradeço desde já.
$Substituição trigonométrica Gif$

por **Forken** Qua 03 Jan 2018, 06:19

\\\int \frac{\sqrt{9x^2-4}}{x}dx;\;\boxed{u=\sqrt{9x^2-4};\;dx=\frac{\sqrt{9x^2-4}}{9x}du}\\\\\int \frac{\sqrt{9x^2-4}}{x}dx=\int \frac{u^2}{u^2+4}du=\int \frac{u^2+4-4}{u^2+4}du=\int \left ( 1-\frac{4}{u^2+4} \right )du=\\=\int du-4\int \frac{du}{u^2+4}=u+k-\frac{4}{4}\int \frac{du}{\frac{u^2}{4}+1}=u+k-\int \frac{du}{(\frac{u}{2})^2+1}=\\=u-2\;arctg\left (\frac{u}{2} \right )+k=\boxed{\sqrt{9x^2-4}-2\;arctg \left ( \frac{\sqrt{9x^2-4}}{2} \right )+k}

Bons estudos!

por **Elcioschin** Qua 03 Jan 2018, 10:10

Outro modo, por substituição trigonométrica:

Fazendo x = (2/3).senθ ----> dx = (2/3).cosθ.dθ ---> x² = (4/9).sen²θ

....√[9.(4/9).sen²θ - 4] ...........................2.cos²θ ..........2.(1 - sen²θ)
∫------------------------*(2/3).cosθ.dθ = ∫---------.dθ =∫---------------.dθ = 2.∫cosecθ.dθ - 2.∫senθ.dθ
.......,, (2/3).senθ .....................................senθ ................. senθ

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